測試地址：Period of an Infinite Binary Expansion
題目大意：對於一個小於1的有理數L，將其寫成二進位制小數形式：0.a1a2...，小數部分無限延伸下去（如果有限就在後面填0）。若這個小數部分可以寫成下列形式：a1a2...ar(ar+1ar+2...ar+s)w，其中(s)w表示字串s重複出現若干次，則稱a1a2...ar為一個長為r的字首，ar+1ar+2...ar+s稱為一個長為s的迴圈。輸入一個有理數p/q(0≤p<q≤2∗109)，p,q為整數，請你求這個有理數小數部分的最小迴圈長度，並求出迴圈最早在哪一位開始出現（即最小字首長度+1）。
做法：

可惡啊！明明方程都推出來了，可就是做不出來，好氣啊，沒辦法只能看了題解……
首先我們可以將p/q約分，即令p=p/gcd(p,q),q=q/gcd(p,q)，簡化計算而又不影響結果。分析題目，一個有理數小數部分的二進位制表示可以用二進位制轉換法（乘二法）得到，那麼我們可以得到下面這個序列：2i×p/q(i≥0)，將每一個數的分子模q，得到：(2i×pmodq)/q。將幾組資料代入觀察，發現分子出現迴圈，而這個迴圈長度正好相當於二進位制位中的迴圈長度，那麼問題就轉化成了求關於i,j的同餘方程：2i×p≡2i+j×p(modq)的一組解，使得i,j最小。可以發現i和j就是我們說的最小字首長度和最小迴圈長度。
將式子轉換一下變成：(

2j−1)×p×2i≡0(modq)，也就是說q|(2j−1)×p×2i，因為gcd(p,q)=1，所以q|(2j−1)×2i，又由於2j−1是奇數，所以i就是q中包含的素因子2的數量，原因後面說明。設q′=q/2i，則q′|2j−1，那麼問題轉化成求關於j的同餘方程2j≡1(modq′)的最小正整數解。這時候就表明前面確定i的大小的方法正確的原因了，如果這裡gcd(q′,2)≠1，這個同餘方程就無解了，所以要去掉q的所有因子2來確保方程必然有解。由尤拉定理得2φ(q′)≡1(modq′)，可以證明最小解j一定是φ(q′)的因子。使用反證法證明，假設最小解j不是φ(q′)的因子，那麼設r=φ

相關推薦

【POJ3358】Period of an Infinite Binary Expansion-尤拉定理+數論好題

測試地址：Period of an Infinite Binary Expansion 題目大意：對於一個小於1的有理數L，將其寫成二進位制小數形式：0.a1a2...，小數部分無限延伸下去（如果有限

poj3358 Period of an Infinite Binary Expansion

href sum using clas 我們 dot 現在 www. blog Period of an Infinite Binary Expansion 　　　　題目大意：給你一個分數，求這個分數二進制表示下從第幾位開始循環，並求出最小循環節長度。 　　　　註釋：i

【BZOJ3884】上帝與集合的正確用法 歐拉定理

可能 答案 接下來 div 整數 共創 beta pan urn 【BZOJ3884】上帝與集合的正確用法 Description 根據一些書上的記載，上帝的一次失敗的創世經歷是這樣的： 第一天， 上帝創造了一個世界的基本元素，稱做“元”。

【CodeForces】906 D. Power Tower 擴展歐拉定理

ces etc targe 整數 force cau getchar() main digi 【題目】D. Power Tower 【題意】給定長度為n的正整數序列和模數m，q次詢問區間[l,r]累乘冪%m的答案。n,q<=10^5，m,ai<=10^9。 【算

【51NOD】 1040-最大公約數之和（尤拉函式）

原題連線 首先補充一個知識點，尤拉函式： 在數論，對正整數n，尤拉函式是小於n的正整數中與n互質的數的數目（φ(1)=1）。此函式以其首名研究者尤拉命名(Euler’s totient function)，它又稱為Euler’s totient f

【LeetCode】median of two sorted arrays

個數 i++ target 們的 data- 關於 arrays 推斷 get 題目：median of two sorted arrays 知識點：二分查找，中位數定義 public class Solution { /* * 關於：leetco

【思維】Stacks of Flapjacks

def ostream wap tmp char highlight break strong return [UVa120] Stacks of Flapjacks 算法入門經典第8章8-1 (P236) 題目大意：有一個序列，可以翻轉[1,k]，構造一種方案使得序列

【轉】Life of a triangle - NVIDIA's logical pipeline

ces inside indices eache next have process specific set From：https://developer.nvidia.com/content/life-triangle-nvidias-logical-pipeline

【CF886D】Restoration of string 亂搞

ios scanf style == pan name 題解 cst span 【CF886D】Restoration of string 題意：對於給定的一個母串，定義一個字符串是出現頻率最多的，當且僅當它在母串中出現的次數最多（可以有多個出現次數最多的，出現的位置可以

【easy】Number of Segments in a String 字符串中的分段數量

turn size 遍歷 字符串 分隔 pre number nts color 以空格為分隔符，判斷一個string可以被分成幾部分。 註意幾種情況：（1）全都是空格 （2）空字符串（3）結尾有空格 思路： 只要統計出單詞的數量即可。那麽我們的做法是遍歷字符串，遇到空格直

【336】Tutorial of Endnote

[] 編號 jin fcc import tps phy com support Now I start to use Endnote to manage my literatures and I need to learn how to use it. Below is

【PAT】A1034Head of a Gang

a10 it! temp 圖的遍歷 電話 str 代碼 begin ring 昨天準備學完圖相關的知識，但是學起來挺懵的，理解起來不難，但自己一回想，又什麽都想不起來。 翻來覆去看圖的遍歷，還是覺得有點沒到位。 所以做題來檢測一下，果然學和自己做是兩碼事。 先看的書，又看的

leetcode 【434】Number of Segments in a String

寫在最前面：null leetcode 434 Number of Segments in a String Count the number of segments in a string, where a segment is defined to be a contigu

Leetcode|【4】Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complex

【HDOJ5973】Game of Taking Stones（Java，威佐夫博弈）

思路：有兩堆石子，數量任意，可以不同。遊戲開始由兩個人輪流取石子。 遊戲規定，每次有兩種不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在兩堆中同時取走相同數量的石子。 最後把石子全部取完者為勝者。 現在給出初始的兩堆石子的數目，如果輪到你先取，假設雙方都採取最好的策略，問最後你是勝者還是敗

【leetcode】953. Verifying an Alien Dictionary

題目如下： In an alien language, surprisingly they also use english lowercase letters, but possibly in a different order. The order of t

【CF_516_div2_B】Equations of Mathematical Magic

連結 （減法、位數均為二進位制下） 簡化： 給出a , 對於方程   問有多少非負解。 如果這是一道noip題，資料肯定有很大一部分是模擬分，所以暴力列舉拿到一半以上應該不成問題。 於是我試了一下，發現了一個規律：對於一個a, 它的答案就是它所有子集的個數。 即 

【資料庫】Levels of Isolation

相關資料來源於網路，侵刪歉。 如果文章中存在錯誤，請下方評論告知我，謝謝！ 何時程式設計師需要在應用層自己控制併發事務？ DBMS在處理系統的併發事務時，其事務排程器通過應用兩段鎖協議(2PL)來保證

【leetcode】145.（Hard）Binary Tree Postorder Traversal

解題思路： morris後序遍歷 這篇部落格的程式碼挺好的： https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/78538729 時間複雜度：O(n)   morris演算法會遍歷每個節點的左子樹的右邊界兩次，所有的右邊界加起來是所有的結點

【leetcode】124.（Hard）Binary Tree Maximum Path Sum

解題思路： 回溯 對於樹的一個結點來說，[左子樹值]、[右子樹值]、[左子樹+右子樹+當前結點值]，這三種組合中，必然有一個最大值，將這個最大值儲存在maxValue[0]中，實時更新即可。 函式maxValue返回的是如果一定要包含當前結點值時的最大數值。 提交程式碼： cl