Description

有$n(n\le 500000)$ 個人排成一列，把他們解散後重排，使得"重排後前方" 跟"原排列前方" 一樣的人不超過$k(k<n)$ 個，問有幾種方法數，答案請$mod (10^9+7)$ 輸出。

舉例來說，有五個人編號為$1$∼$5$ 間的整數，最初的排列由前至後依序為$1, 2, 3, 4, 5$，重排列後順序由前至後變為$1, 3, 4, 2, 5$，其中只有編號為$4$ 的人，“原排列前方” 跟"重排後前方" 都是編號為$3$

原排列的第$1$個人和重排後的第$1$個人一定不會是「“重排後前方” 跟 “原排列前方” 一樣的人」。

Input

輸入只有一行，有兩個正整數$n,k$，滿足$1\le k<n\le 500000$。

Output

請輸出一行包含一個小於$10^9+7 $的非負整數，表示總共的方法數 $mod (10^9+7)$。

Sample Input

3 1

Sample Output

5

Solution

令$a_n$為$n$個人重排後前方的人均不是原排列前方人的方案數，假設起初排位為$1$

$1.$若$1$不再任意一對$i,i+1$之間，那麼需要$2$~$n$這$n-1$個人重排後前方的人均不是原排列前方的人，方案數為$a_{n-1}$，對於這其中的每一種方案，只要$1$不在$2$前方即可，故$1$有$n-1$個位置可以放

$2.$若$1$在某對$i,i+1$之間，選擇一個$i$方案數為$n-2$，之後把$i,1,i+1$看作一個元素$i+1$，問題轉化為$n-2$個人重排後每個人前方的人均不是原排列前方的人，方案數$a_{}$

綜上有$a_n=(n-1)\cdot a_{n-1}+(n-2)\cdot a_{n-2}$，線性預處理$a_n$即可

之後考慮原問題，假設重排後有$x$個人前方的人和原排列前方的人相同，從$n-1$個有前方人的人中選出這$x$個人方案數$C_{n-1}^x$，選出後，把這$x$對看作$x$個元素，問題轉化為$n-x$個人重排後每個人前方的人均不是原排列前方人的方案數，即$a_{n-x}$，故答案為$\sum\limits_{x=0}^kC_{n-1}^x\cdot a_{n-x}$

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=500005;
#define mod 1000000007
int add(int x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mod)x-=mod;
	return x;
}
int mul(int x,int y)
{
	ll z=1ll*x*y;
	return z-z/mod*mod;
}
int n,k,a[maxn],inv[maxn],fact[maxn];
void init(int n=5e5)
{
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
	inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=mul(inv[i-1],inv[i]);
	fact[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=mul(i,fact[i-1]);
}
int C(int n,int m)
{
	return mul(fact[n],mul(inv[m],inv[n-m]));
}
int main()
{
	init();
	scanf("%d%d",&n,&k);
	a[1]=1,a[2]=1;
	for(int i=3;i<=n;i++)a[i]=add(mul(i-1,a[i-1]),mul(i-2,a[i-2]));
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=k;i++)ans=add(ans,mul(C(n-1,i),a[n-i]));
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}