AVL插入結點

通過這張圖來描述AVL平衡樹在插入新結點過程中，通過旋轉操作來達到自平衡的四種場景：

1. LL單旋轉：新結點插入在A的左孩子（L）的左子樹（L），這種場景在插入新結點後，同一路徑上的A和B的平衡因子符號相同（2，1），只需要一次右旋操作即可重新達到平衡。
2. LR雙旋轉：新結點插入在A的左孩子（L）的右子樹（R），這種場景在插入新結點後，同一路徑上的A和B的平衡因子符號不同（2，-1），先對以B為根的二叉樹左旋一次，再對以A為根的二叉樹右旋一次即可重新達到平衡。
3. RL雙旋轉：新結點插入在A的右孩子（R）的左子樹（L），這種場景在插入新結點後，同一路徑上的A和B的平衡因子符號不同（-2，1），先對以B為根的二叉樹左旋一次，再對以A為根的二叉樹右旋一次即可重新達到平衡。
4. RR單旋轉：新結點插入在A的右孩子（R）的右子樹（R），這種場景在插入新結點後，同一路徑上的A和B的平衡因子符號相同（-2，-1），對以A為根的二叉樹右旋一次即可重新達到平衡。

所以，實際上只有左旋和右旋兩種最基本的操作，只是每次旋轉的二叉樹不一樣。對一棵二叉樹進行旋轉，實際上就是讓其根結點的左孩子（右旋）或者右孩子（左旋）來代替原根結點的位置，並保證整棵樹中序遍歷的順序不變。

註解：

1. 其中的A結點是插入新結點的祖先，在插入新結點前，以這個結點為根結點的二叉樹的平衡因子一定是1或者-1。
2. 不平衡樹中的平衡因子的值限於-2，-1，0，1和2。
3. 從根到新插入結點的路徑上，只有經過的結點的平衡因子才會在插入後改變。
4. 圖中A/B/C這樣的代表單個結點，帶下標的結點都代表一顆子樹。

AVL刪除結點

刪除AVL平衡樹結點後的平衡處理和插入類似，不過有下面6種場景，刪除結點在A的右子樹為R型不平衡，刪除結點在左子樹為L型不平衡。對於這些場景，同樣是圍繞著對刪除前平衡因子為-1或者1，刪除後平衡因子為-2或者2的子樹進行討論：

1. R0單旋轉：刪除的是A右子樹的結點，刪除後A的平衡因子為2，並且其左子樹的平衡因子為0，一次右旋操作即可重新達到平衡。
2. R1單旋轉：刪除的是A右子樹的結點，刪除後A的平衡因子為2，並且其左子樹的平衡因子為1，一次右旋操作即可重新達到平衡。
3. R-1雙旋轉：刪除的是A右子樹的結點，刪除後A的平衡因子為2，並且其左子樹的平衡因子為-1，因為刪除後A和B的平衡因子符號不同，所以需要兩次旋轉才能重新達到平衡。
4. L0單旋轉：刪除的是A左子樹的結點，刪除後A的平衡因子為-2，並且其右子樹的平衡因子為0，一次左旋操作即可重新達到平衡。
5. L-1單旋轉：刪除的是A左子樹的結點，刪除後A的平衡因子為-2，並且其右子樹的平衡因子為1，一次左旋操作即可重新達到平衡。
6. L1雙旋轉：刪除的是A左子樹的結點，刪除後A的平衡因子為-2，並且其右子樹的平衡因子為-1，因為刪除後A和B的平衡因子符號不同，所以需要兩次旋轉才能重新達到平衡。

下面的圖描述了對R型不平衡的處理：