引理1：gcd(F[n],f[n-1])=1

因為 F[n]=f[n-1]+F[n-2]

所以 gcd(F[n],f[n-1]) = gcd(F[n-1]+F[n-2],F[n-1])

gcd的更損相減的性質可知 gcd(a,b)=gcd(b,a-b)

故  gcd(F[n],f[n-1]) = gcd(F[n-1],F[n-2])

而 F[1]=F[2]=1故該定理成立

引理2：F[m+n]=F[m-1]F[n]+F[m]F[n+1] 

F[m+n] = F[m+n-1] + F[m+n-2] = (F[m+n-2]+F[m+n-3])+F[m+n-2]= 2F[m+n-2]+F[m+n-3]

 F[m] F[m+1] ..... F[m+n-2] F[m+n-1] F[m+n]

                                      1             1

                          1 

                2        3

        3      5

我們發現

r(m+n-2) 是 Fib 的第 1 項 所以 m+n-k是Fib的第k-1項

r(m+n-2) 是 Fib 的第 3 項 所以 m+n-k是Fib的第k+1項

r(m-1)=r(m+n-(n+1))=F[n]

t(m)=t(m+n-n)=F[n+1]

所以 F[m+n]=r(m-1)*F[m]+t(m+1)*F[m] = F[m-1]F[n]+F[m]F[n+1] 

引理3：gcd(F[n+m],F[n])=gcd(F[n],F[m])

由引理2可知： F[m+n]=F[m-1]F[n]+F[m]F[n+1] 

gcd(F[n+m],F[n]) = gcd(F[m-1]F[n]+F[m]F[n+1] ,F[n]) = gcd(F[n],F[m]F[n+1]) = gcd(F[m],F[n])

這之間用到了輾轉相除法和引理1

gcd(f[m],f[n])=gcd(f[n],f[m-n]）
輾轉相減法 就是gcd(f[n],f[m%n])
輾轉相除法 就是f[gcd(n,m)]