簡述

什麼是二叉樹

下面的這棵樹，就是二叉搜尋樹

相對於什麼最優

這裡考慮的是ASL（average search length）平均搜尋長度。即根據概率來生成ASL最小的搜尋樹。

到這裡，最優二叉搜尋樹的概念就已經清楚了。

解決方法

如果是遞迴來搜尋也是可以的，但是很明顯需要做很多的重複的計算。 為了解決這個問題，所以我們採用動態規劃來做，很明顯，這樣能降低計算的複雜度。

• 處理方法：動態規劃

在非葉節點上時候，為特定的數值，在葉子節點上時候，是一個區間（這裡不懂可以再看上面的圖）

顯然，我們需要先用遞迴的方式來理解一下這個問題。

• w[i][j] = a[i-1] + b[i] +.. + b[j] + a[j]
• 其中，a[i]表示的是第i個區間的概率，b[i]表示的是第i個節點的概率
• w[i][i] = a[i-1] + b[i] + a[i] 這不就是一個只有一個非葉子節點的二叉樹麼？
• 如果是隻有一個非葉子節點的二叉搜尋樹的話：我們這裡很好求
• 進行擴充套件：我們現在只考慮這麼的一棵樹，中間點為具體數值，那麼就是非葉子節點。然後根據這個節點(設為節點k)的進行推理ASL[i][j] = b[k] * 1 + (ASL_Left_tree + 1) * W[i][k-1] + (ASL_Right_tree + 1) * W[k+1][j]
• 注意到，中間有部分可以提出來，得到ASL[i][j] = W[i][j] + (ASL_Left_tree ) * W[i][k-1] + (ASL_Right_tree ) * W[k+1][j]
  （這裡W[i][j] = 1）
• 但是我們這裡其實考慮的整棵數，對於更一般的，我們要考慮一個樹的一部分。
• ASL[i][j] = 1 + (ASL_Left_tree ) * W[i][k-1] + (ASL_Right_tree ) * W[k+1][j] 這是上面的整理。下面再接著推理。
• W[i][j] * ASL[i][j] = W[i][j] + (ASL_Left_tree ) * W[i][k-1] + (ASL_Right_tree ) * W[k+1][j] 注意，這裡的W[i][j]都是在全域性的樹上算的，因為這時候把左邊的W[i][j] 就類似的得到的我們想要的條件概率下是計算演算法。
• 做類似的變換很容易發現，所謂左樹和右樹也是可以用i,j來表示的。然後，就得到一個很重要的 遞推公式
• W[i][j] * ASL[i][j] = W[i][j] + ASL[i][k-1] * W[i][k-1] + ASL[k+1][j] * W[k+1][j] 但是我們注意到這裡的 w[i][j] * ASL[i][j] 其實可以作為一個整體來計算的。這裡就設定為M[i][j]
• 所以公式變為了m[i][j] = w[i][j] + m[i][k-1] + m[k+1][j]。注意到，我們這裡是假設了採用的是以第k個點作為分割點來構建子樹的。但是實際上這個最優的究竟該怎麼搞，肯定是需要遍歷所有的可能的k來得到結果的。
• 所以，其實m[i][j] = w[i][j] + min(m[i][k-1] + m[k+1][j])。但是我們這裡需要注意到，我們想要的整棵數的ASL其實就是m[1][N]，而此時的概率為1了，所以得到的相等。

邊界條件討論：

• w[i+1][i] 這種情況究竟是算什麼呢？我們這裡設定為a[i]
• m[i+1][i]這種情況呢？我們令它為0。這樣，我們在利用上面的公式推理出來的結果的時候，就得到了m[i][i] = w[i][i]。
• 至於它為0，其實很好證明，由於在ASL[i+1][i]肯定要是0才對的。

程式實現細節

主要是注意一下，實現的時候，如何安排資料。建議的話，將b的那個陣列前面空出一個來，這樣的話，就不需要修改太多的公式。 原因如下：

• w[i][j] = a[i-1] + b[i] +.. + b[j] + a[j]
• 為了避免程式實現的時候越界。（否則就需要修改公式了，這裡先可以先完成之後，再考慮優化的問題）

看到這，如果你有去手動實現的話，你會意識到另外一個問題。這個可行的k究竟是什麼？

• 由於我們之前已經談到了設定了時候，我們講b的那個陣列第一個位置放空，那麼來說i和j都是從1開始遍歷起的，終止當然就是以N作為終止點。
• 知道上面的這些之後，我們就很容易理清了，我們嘗試將i到j上的所有節點

C++程式碼

註釋部分寫好了詳細的程式碼說明~ main函式開始部分是自動生成資料來進行測試

#include <iostream>
using namespace std;
#include <string>
#define N 15

int S[N];
double b[N + 1];
double a[N + 1];
// w[i][j] 表示i,j段的概率
// 
double w[N + 2][N + 2];
// w[i][j] = a[i-1] + b[i] +...+b[j] + a[j]
double m[N + 2][N + 2];
int divided_point[N + 1][N + 1];
string getAns(int begin, int end);
int main() {
	double sum = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i) {
		S[i] = 2 * i + 1;
		b[i+1] = 0.6 / (N+1);
		a[i] = 0.4 / (N+1);
		sum += (a[i] + b[i+1]);
	}
	b[0] = 0;
	a[N] = 1 - sum;
	/*for (int i = 0; i < N; ++i) {
		S[i] = 2 * i + 1;
		a[i + 1] = 0.04;
		b[i + 1] = 0.06;
	}
	a[0] = 0.1;
	b[0] = 0;*/
	// 初始化
	for (int i = 0; i <= N; ++i) {
		w[i + 1][i] = a[i];
		m[i + 1][i] = 0;// ASL[i][i-1]為0！
	}
	// r表示的是長度
	for (int r = 0; r < N; ++r)
		for (int i = 1; i <= N-r; i++) {
			// i表示的是起始點
			int j = i + r; // j表示的是終點
			// 由w[i][j]建構函式很容易得到
			w[i][j] = w[i][j - 1] + a[j] + b[j];
			m[i][j] = m[i + 1][j]; // 因為m[i][i-1]為0
			divided_point[i][j] = i;
			// 中間劃分點設為b[i] k為滑動的移動點
			for (int k = i + 1; k <= j; k++) {
				double t = m[i][k - 1] + m[k + 1][j];
				if (t < m[i][j]) { 
					m[i][j] = t; 
					divided_point[i][j] = k;
				}
			}
			m[i][j] += w[i][j];
		}
	cout << m[1][N] << " " << w[1][N] << endl;
	system("pause");
}