專案一來就瞎忙… 瞎加班… 碌碌無為… 目標還是閒下來就看看演算法吧…

揹包問題

給定 n 種物品和一個容量為 C 的揹包，物品 i 的重量是 wi，其價值為 vi 。應該如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中的物品的總價值最大？。每種物品只有一件，故對每種物品的選擇為放或不放，故問題也稱之為01揹包

例題，物品分別為({重量，價值})，{5，12}， {4，3}，{7，10}，{2，3}， {6，6}，揹包總容量為15。(這裡要是用體積代替重量總覺得好很多，反正意思就是裝進去的物品重量之和不得大於總容量)

解題最關鍵的一行程式碼dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c]+v

如果是人為邏輯的話，先考慮裝不裝得下，要是裝得下，就直接裝，裝不下就需要對比思考，是不是把前面的某件或某些件摳出來然後把自己裝進去會比較好，那些摳出來的條件是他們的容量得大於等於自己，不然摳出來自己也進不去。

下一步，就是把上面的邏輯變成函式表達。

首先，需要把問題分解化小，面對裝不下思考把某些摳出來再裝自己的選擇是不是更好的問題，就分解為，假設當前自己是第i件，，判斷【沒扣出來的價值（揹包容量為j，前i - 1件的價值）】和【扣出能放入自己的容量大小揹包裡放的價值，再把自己放進去的價值和(揹包容量為j - c的價值 + v)】二者哪個更大。

我們維護一個二維陣列，x軸為1到15的揹包容量，y軸為依次放入的物品，值為當前揹包的最大價值。

第一次y=1，放入物品{5, 12}，x小於5的揹包都放不下，對應值都為0，x大於等於5的揹包都放得下，對應值都為12。

第二次y=2，放入{4, 3}, 相當於現在有兩個物品，重量分別為5、4，x小於4時，都裝不下，值對應都為0，5<=x < 9時，能放入4，也能放入5，值取較大的，值為12。x >=9時，二者皆能放入，值取12+3=15。好，這個規律如何找呢[腦殼痛]。每個x，即揹包大小固定，求值為，上一次對應的價值，和，(x-自己重量)的揹包的上一次能裝的東西+自己價值，取最大值。則為當前揹包大小下能放入的最大值了。

先列表格

再接著看第三次y=3, 放入{7，10}，按照上面的公式，max([y-1][x], [y-1][x-c] + v), x=4時，值為max(3, 0), x=5時，值為max(12, 3)…

差不多就是這樣，最後看一下程式碼吧

func backpack(nums [][]int, total int) int {
  dp := make([][]int, len(nums))
  //初始化二維陣列
  for i := 0; i < len(nums); i++ {
    dp[i] = make([]int, total+1)
  }
  
  //放入第一個物品，填第一行列表
  for i:= nums[0][0]; i < total; i++ {
    dp[0][i] = nums[0][1]
  }
  
  for i := 1; i < len(nums); i++ {
    for j:= nums[i][0]; j < total; j++ {
      dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-nums[i][0]] + nums[i][1])
    }
  }
  return dp[len(nums) - 1][total]
}