歐幾里得演算法

歐幾里得演算法是歐幾里得（Euclid）在《幾何原本》中提出的計算最大公因子的演算法，被認為是最早的演算法，也是人類歷史上最優美的演算法。

在表述演算法之前，先給出演算法的理論基礎：

定理：設a=qb+r，其中a,b,q,r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)

證明：

若d|a且d|b，則有d|a且d|r=a-qb

若d|b且d|r，則有d|b且d|qb+r=a

這表明a與b的公因子集合與b與c的公因子集合相同，最大公因數肯定相同。

演算法實現：

 int gcd(int a, int b)
 {
     return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
 

這個演算法也被叫做“輾轉相除法”，為什麼呢？

你看啊，這個過程先右除以左，然後左除以右，再右除以左，左除以右......，就像一個人輾轉反側，所以輾轉相除法就是從演算法表現得到的。我們進一步分析，會發現另一個現象。

觀察輸出的5是怎麼得到的？

• 5=85-2*40
• 5=85-2*(210-2*85)=5*85-2*210
• 5=5*(715-3*210)-2*210=5*715-17*210

可以發現，最大公因子5可以由a,b線性表示。

裴蜀等式

定理：對於不全為0的整數a,b和d，方程sa+tb=d存在整數解s和t當且僅當gcd(a,b)|d。方程sa+rt=d稱作裴蜀（Bezout）等式或貝祖等式。

證明：

（充分性）通過回代法，可知sa+rt=gcd(a,b)存在整數解s’和t’，若d=k·gcd(a,b)，則ks’,kt’是方程的一組解。

（必要性）若方程存在整數解s,t，則gcd(a,b)|sa+rt=d

參考連結：中國大學mooc  劉鐸  離散數學