序言：

     當博主第一次見到歐幾里德演算法時，我是不屑一顧的，由於模板比較好背，所以也沒有仔細研究過其中的數學原理.這段時間突然喜歡上了數學，碰巧同學講了一下基礎數論，就去聽了一聽. 由於博主數學基礎和學習能力都比較差，沒有立即消化其中的知識，於是研究了好幾天，直到今天才有所進展，通過這篇部落格希望大家能夠認識到數學的精妙之處.

正文：

歐幾里德演算法的推導與證明：

     眾所周知，歐幾里德演算法的定理可以表示為：
                                                      gcd(a,b)=gcd(b,a%b)$gcd($

a,b)=gcd(b,a%b)
     但是這個定理是如何推匯出來的呢？

首先我們可以假設a=k∗b+r$a=k\ast b+r$（其中的r代表著a/b的餘數，也就是a%b的結果）

  1.首先我們假設d是a和b的最大公約數，則我們可以知道 a可以整除d，表示為a|b，b也可以整除d,表示為b|d，由於r=a−k∗b$r=a-k\ast b$ 其中a是d的倍數，而且b也是d的倍數，那我們可以得到其實r也是d的倍數，換句話說r也是可以整除d.

  2.接下來我們假設d是b和r的最大公約數，則我們可以知道b可以整除d,表示為b|d，r也可以整除d，表示為r|d,由於a=k∗b+r$a=k\ast b+r$其中b是d的倍數，而且r也是d的倍數，那我們可以得知其實a也是d的倍數，換句話說a也是可以整除d.

通過以上的充分必要式的證明方法，我們可以得到：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)$gcd(a,b)=gcd\left(b,a\mathrm{\%}b\right)$

接下來我們來看程式碼實現(遞迴) :

int gcd(int a, int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}

看起來十分簡單，實則暗藏玄機…
首先我們需要考慮當 b=0$b=0$ 時，為何要返回a呢.. 在解釋之前，我要說明一點，只有當a > b時 演算法才算正式開始進行運算，這是為什麼呢？我們舉個簡單的例子，當 a=12,b=16$a=12,b$

=16 時，我們在第二輪的時候驚奇的發現他遞迴的卻是 gcd(16,12)$gcd(16,12)$ ，這其實算是一種維護的過程,感嘆第一寫出這份程式碼人心思的縝密….迴歸正題，當我們發現 b=0$b=0$ 時，也就是說上一輪的 a%b=0$a\mathrm{\%}b=0$ 也就是說上一輪的a可以完全整除b，此輪的a則是上一輪的b提供的，所以將b返回即可。

我遇到的問題

在學習歐幾里得的時候，我有一個疑惑，在我們剛才的推導過程：假設d是a和b的最大公約數，我們可以推匯出 r （a%b$a\mathrm{\%}b$）也可以整除d ， 既然a,b,r都可以整除d，為什麼我們的等式只能寫作 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$ 而不能寫作 gcd(a,b)=gcd(a,a%b)$gcd(a,b)=gcd(a,a\mathrm{\%}b)$ 呢? 在這個問題上，我思考了很久，終於得到了一定的理解… 首先我剛才說過 只有當 a>b$a>b$ 的時候，演算法才開始進行運算，所以說a在這裡面是相對是最大的，b其次，而r是最小的…. 我說的可能太過絕對，以下為他們的具體關係：

                                                                 a≥b≥r$a\ge b\ge r$

在我們每輪遞迴的過程中，希望值是越來越小的…其中a確永遠是最大的…而且遞迴a也是沒有意義的…因為我們最終要求的是最大公約數解.

代數形式的推導過程：

擴充套件歐幾里德演算法的解釋說明：

    在學習完上面所講的歐幾里德演算法之後，本節我們來講一下 擴充套件歐幾里得演算法，歐幾里德演算法是用來做什麼的呢？
    擴充套件歐幾里德演算法是用來在已知a, b求解一組x，y，使它們滿足貝祖等式： ax+by=gcd(a,b)$ax+by=gcd(a,b)$,然後再求出現實所所需要的通解。由於證明這個等式成立的過程涉及到其他的數論知識，在學習基礎的我們可以暫時把證明過程放在一邊，權當這是成立的。

我們已知 a∗x1+b∗y1=gcd(a,b)$a\ast x_1+b\ast y_1=gcd(a,b)$ 根據歐幾里德，我們可以得到：

                                        gcd(a,b)=gcd(b,a%b)$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$

gcd(b,a%b)=b∗x2+(a%b)∗y2=b∗x2+(a−floor(a/b)∗b)∗y2$gcd(b,a\mathrm{\%}b)=b\ast x_2+(a\mathrm{\%}b)\ast y_2=b\ast x_2+(a-floor(a/b)\ast b)\ast y_2$
我們最終可以得到：
y1=x2−floor(a/b)∗y2,x1=y2$y_1=x_2-floor(a/b)\ast y_2,x_1=y_2$

接下來我們來看程式碼實現(遞迴) :

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

現在我們考慮一下遞迴的終點…..當 b=0$b=0$ 我們為何要

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