10月27日備戰Noip2018模擬賽11（B組）

T1 Maxsum最大子段和

題目描述

給出一個首尾相連的迴圈序列，從中找出連續的一段，使得該段中的數和最大。

輸入格式

第一行一個整數n ，表示有n 個數。

第二行有ñ 個整數。

輸出格式

只一個整數，表示最大的連續子段和。

輸入樣例

4
2 -4 1 4

輸出樣例

7

資料範圍

對於100％的資料，1≤n≤100000，每個數的絕對值不超過100000。

思路

DP + 單調佇列

演算法一

因為這個欄位是連續的（注意讀題！注意讀題！注意讀題！重要的事情說三遍第一遍看題，哇，好簡單，結果打完發現連樣例都鍋了）

所以最大子段和可能有兩種情況（如下圖）

那麼對於第一種情況，我們就直接求最大值就可以了

第二種情況，可以求出中間白色部分的最小值，而且最小值的求法也可以轉換為最大值，也就是求數列中相反數的最大值

最後再比較兩種情況，求出最大子段和

（不要急， 程式碼後還有更簡單的演算法二， 休息一下，馬上回來）

程式碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>

using namespace std;

const int MAXN = 1e6 + 5;
const int INF = -MAXN;

int n;
int a[MAXN], b[MAXN];

inline int read ();

int main ()
{
	//freopen ("maxsum.in", "r", stdin);
	//freopen ("maxsum.out", "w", stdout);
	
	n = read ();
	int maxx = INF;
	int minn = MAXN;
	long long tot = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i){
		a[i] = read ();
		b[i] = -1 * a[i];
		//a[2 * n + i] = a[i];
		maxx = max (maxx, a[i]);
		minn = min (minn, a[i]);
		tot += a[i];
	}
	
	if  (maxx < 0) {            //特判一下全部是負數的情況
		printf ("%d", maxx);
		fclose (stdin);
		fclose (stdout);
		return 0;
	}
	long long ans = INF;            //   求最大值
	long long sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i){
		if (sum + a[i] < 0) sum = 0;
		else sum += a[i];
		ans = max (ans, sum);
	}			
	
	if (minn >= 0){
		printf ("%lld", ans);
		fclose (stdin);
		fclose (stdout);
		return 0;
	} 
	long long summ = INF;            //求最小值
	sum = 0;

	for (int i = 1; i <= n; ++ i){
		if (sum + b[i] < 0) sum = 0;
		else sum += b[i];
		summ = max (sum, summ); 
	}			
	
	ans = max (ans, tot + summ);
	
	printf ("%lld", ans);
	
	//fclose (stdin);
	//fclose (stdout);
	return 0;
 } 
 
 inline int read ()
 {
 	char ch = getchar ();
 	int f = 1;
 	while (!isdigit (ch)){
 		if (ch == '-') f = -1;
 		ch = getchar ();
	}
	int x = 0;
	while (isdigit (ch)){
		x = x * 10 + ch - '0';
		ch = getchar ();
	}
	return x * f;
 }
 

演算法二

因為這個序列是一個環， 所以可以將它複製一遍接到後面， 這樣序列的長度就變成了2n，而且顯然，選取的子段長度不能超過n， 預處理出子段和使用DP求解

狀態設計：dp[i] 表示以第i個數結尾的最大子段和

狀態轉移: 

複雜度：

這樣子的複雜度太大了， 使用單調佇列優化DP，這樣的複雜度是 注意這裡要開longlong， 不然會wa2個點

使用單調佇列考慮這樣幾個操作

1. 若隊首元素為x, 若， 則x出隊， 直到
2. 若隊尾元素x， 有, 則x出隊
3. 在隊尾插入i

程式碼（單調佇列優化DP）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <deque>

using namespace std;

const int MAXN = 2e5 + 5;
const long long INF = 9e18;

int n;
long long ans;
int a[MAXN];
long long preSum[MAXN];

deque <int> Q;

inline int read ();

int main ()
{
	freopen ("maxsum.in", "r", stdin);
	freopen ("maxsum.out", "w", stdout);
	n = read ();
	for (int i = 1; i <= n; ++ i){
		a[i] = read ();
		a[n + i] = a[i];
	}
	
	Q.push_back(0);
	ans = -INF;
	for (int i = 1; i <= 2 * n; ++ i){
		preSum[i] = preSum[i - 1] + a[i];
	}
	
	for (int i = 1; i <= 2 * n; ++ i){
		while (Q.size() && Q.front() < i - n) Q.pop_front();
		ans = max (ans, preSum[i] - preSum[Q.front()]);
		while (Q.size() && preSum[i] <= preSum[Q.back()]) Q.pop_back();
		Q.push_back(i);
	}
	
	printf ("%lld", ans);
	fclose (stdin);
	fclose (stdout);
	return 0;
}

inline int read ()
{
	char ch = getchar ();
	int f = 1;
	while (!isdigit (ch)){
		if (ch == '-') f = -1;
		ch = getchar ();
	}
	int x = 0;
	while (isdigit (ch)){
		x = x * 10 + ch - '0';
		ch = getchar ();
	}
	return x * f;
}