從一道“數學歸納法”例題說起

題目：當n≥17時，用面值4元和面值7元的郵票可支付任何n元郵資。即對於任意正整數n≥17，存在非負整數a,b，使得4a+7b=n

證明：（歸納法）

設P(n)表示“可以用面值4元和7元的郵票支付n元郵資”，令Q(n)=P(n)^P(n+1)^P(n+2)^P(n+3)，則

P(18)=2*7+4，P(19)=3*4+7，P(20)=5*4，P(21)=3*7，於是Q(18)為真。

假設對於k≥18，有Q(k)=P(k)^P(k+1)^P(k+2)^P(k+3)為真

則Q(k)=P(k+1)^P(k+2)^P(k+3)^P(k+4)也為真，因為P(k)成立，選用面值為4的郵票，P(k+4)也成立。

更一般的情況

令a和b是正整數，不失一般性地假設 gcd(a,b)=1 。則存在 n ，使得對所有的正整數 k≥n， k元的郵資都可以用 a 元的郵票和 b 元的郵票湊齊。

也即可以找到非負整數 s 和 t 使得 sa+rt=k ——這就是裴蜀等式。

定理1 對於不全為0的整數 和 ，方程 存在整數解 和 當且僅當 。方程 稱作裴蜀（Bezout）等式或貝祖等式。

對於裴蜀等式的解，有如下一般性結果：

定理2 假設 和 是不全為0的整數， 和 是方程 的一組整數解，則方程 的所有解為： ，其中 是整數。

證明：

“構成解”很容易驗證。反過來，假設

於是 ，由於 和 互素，有 ，即得

推論：假設整數 與 互素，則存在整數 ， ， ， 使得 及 。

我們反過來思考，假設a,b已知，且存在N，使得任意的n>N都能由a,b線性表示，求N的最小值。

面值的下界

定理： 和 是互素的正整數，則當 時，方程 均有非負整數解，而 沒有非負整數解。

證明：

假設 ，方程 的所有整數解為 ， ，其中 。取 ，使得 ，則由 ，有 ，從而 ，即 。於是 就是 的一個非負整數解。

另一方面，若非負整數 和 使得 ，則

該定理表明，如果 和 是互素的正整數，則 具有這樣的性質： 元郵資無法用 元的郵票和 元的郵票湊齊；而對於每個大於 的正整數 ， 元的郵資都可以用 元的郵票和 元的郵票湊齊。

例如：

時， 。這也對應了最初的“數學歸納法例題”。

參考鏈接：

1、中國大學mooc 劉鐸 離散數學

2、https://zhuanlan.zhihu.com/p/32504576

裴蜀等式——湊郵資問題