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題意簡述

給定 $N,K,L,H$

求下面式子在 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10^9+7$

{\rm mod\ 10^9+7} 意義下的值。

$\underset{i_1=}{\overset{}{\sum }}$

L H ∑ i 2 = L H ⋯ ∑ i N = L H [ g c d ( i 1 , i 2 , ⋯   , i N ) = K ] \sum_{i_1=L}^H\sum_{i_2=L}^H\cdots\sum_{i_N=L}^H[gcd(i_1,i_2,\cdots,i_N)=K]

$N,K\leq 10^9 ,1\leq L\leq H\leq 10^9,H-L\leq10^5$

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通過莫比烏斯反演的套路，我們很容易將式子變成如下形式：
$\sum_{i_1=L}^{\lfloor\frac{H}{K}\rfloor}\cdots\sum_{i_N=L}^{\lfloor\frac{H}{K}\rfloor}[gcd(i_1,\cdots,i_N)=1]$

然後將莫比烏斯函式套入，得到：

$\sum_{i_1=L}^{\lfloor\frac{H}{K}\rfloor}\cdots\sum_{i_N=L}^{\lfloor\frac{H}{K}\rfloor}\left(\sum_{w|i_1,w|i_2,w|i_3,\cdots,w|i_N}\mu(w)\right) \\ =\sum_{w=1}^{\lfloor\frac{H}{K}\rfloor}\mu(w)\sum_{i_1=L}^{\lfloor\frac{H}{Kw}\rfloor}\cdots\sum_{i_N=L}^{\lfloor\frac{H}{Kw}\rfloor}1 \\=\sum_{w=1}^{\lfloor\frac{H}{K}\rfloor}\mu(w)\left(\frac{H}{Kw}-\frac{L-1}{Kw}\right)^N$

我們用杜教篩篩前面的 $\mu$的字首和，後面分塊算即可，複雜度 $O(n^{\frac{2}{3}})$