本章內容為：微積分——微分學基礎——直線的斜率。掌握了它，你離史蒂芬·霍金的大腦就近了一步。 此外，如果你對本章內容已經瞭如指掌，請在《高考數學 18 分的美院生的微積分課程：目錄》 中查詢其他內容。

自由落體

例 1

假設，地球上的一個物體 $100$ 米高空開始由靜止向下墜落。問，當物體下落的第三秒時，這個物體的瞬時速度為多少？

根據我們已知自由落體方程為：

$s(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0 t+s_0 \quad {\rm m}$

其中，$g$ 為重力加速度常數，並且我們知道地球的平均重力加速度約為 $9.8$

$s(t)=-\frac{1}{2}gt^2+100 \quad {\rm (m)}$

我們對函式 $s(t)$ 進行微分，求出其導數

$v(t)=-gt \quad {\rm (m/s)}$

在這裡，如果你使用 GeoGebra 進行運算，當你直接輸入 v(t)=s'(t) ，得到的導數會是 $v(t)=9.8t$，其中並沒有保留 $g$ 這個字母。如果你比較介意今後會一直遇到的這種情況，請參見附錄《GeoGebra 與導數基礎》中的《保留常數的小技巧》這一節內容。

我們將題幹中的時間 $t=3$ 帶入導數 $v(t)$ 中，便得到

$v(3)=-9.8 \times 3= -29.4 \quad {\rm (m/s)}$

因此，在物體下落的第三秒時的瞬時速度為 $-29.4 \; {\rm (m/s)}$。

例 2

根據上面的題幹，問，當著地時，該物體的速度為多少？

對此，我們需要先知道，當什麼時候，該物體會著地。在函式 $s(t)$ 中，我們使 $s(t)=0 \; {\rm (m)}$

$0=-4.5t^2+100 \quad {\rm (m)}$

我們得出兩個解：

$t\approx \pm4.517 \quad{\rm (s)}$

由於時間 $t$ 的程序始終朝正方向延續，因此我們取數其中的正數值，因此，在 $4.71$ 秒時，物體著地。我們將這個值帶入 $s(t)$ 的導數 $v(t)$，得到最終結果

$v(t)=9.8 \times 4.52=44.27 \quad {\rm (m/s)}$

如果你對這些內容又任何疑惑，例如覺得我說的太快了，希望能夠更詳細地解釋，或者在觀點上對我並不贊同，並且感到憤怒，請一定給我留言，我會盡快回復。