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概念

生成函數——用多項式表示數列的形式冪級數，其中函數的\(i\)次項系數對應數列的第\(i\)項

即\(A \to \sum_{i=0}^{\infty} a_ix^i\)

例如：

$[1,1,1,1,1,...] \to 1+x+x^2+x^3+x^4+ ... $

\([1,a,a^2,a^3,a^4,...] \to 1+ax+a^2x^2+a^3x^3+a^4x^4+...\)

由於我們只是用多項式來表示這個數列，而不關心其是否收斂，所以我們可以直接用數列求和的封閉形式來代替該多項式

例如：

\([1,1,1,1,1,...] \to \sum_{i=0}^{\infty} x^i=\frac{1}{1-x}\)

\([1,a,a^2,a^3,a^4,...] \to \sum_{i=0}^{\infty} a^ix^i = \frac{1}{1-ax}\)

操作

生成函數擁有多項式的一般性質

設\(A \to F(x),B \to G(x)\)

則有：

\(cA \to cF(x)\)

\(A+B \to F(x)+G(x)\)

\(A>>k \to x^kF(x)\)

\(A<<k \to \frac{F(x)}{x^k}\)

設\(D(A) \to \sum_{i=0}^{\infty} ia_ix^i\)

則\(D(A) \to xF‘(x)\)

生成函數