ST演算法是在倍增的思想上建立的

來看一下ST演算法是怎麼實現的(以最大值為例）：

首先是預處理，用一個DP解決。設a[i]是要求區間最值的數列，f[i,j]表示從第i個數起連續2^j個數中的最大值。

例如數列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

f[1，0]表示第1個數起，長度為2^0的最大值，其實就是3。

f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……從這裡可以看出f[i,0]其實就等於a[i]。

這樣，Dp的狀態、初值都已經有了，剩下的就是狀態轉移方程。

f[i j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<j)][j-1])

什麼意思呢？

我們把f[i，j]的求值區間平均分成兩段（因為2^j一定是偶數）:

從i到i+2^(j-1)-1為一段，i+2^(j-1)為到i+2^(j-1)-1為為一段(長度都為2^(j-1)）)。用上例說明，當i=1，j=3時就是3,2,4,5 和 6,8,1,2這兩段。f[i，j]就是這兩段的最大值中的最大值。

F[i,j]表稱為稀疏表（Sparse Table）。有了稀疏表，我們就可以做到O(1)時間查詢任意區間的最值。

如在上例中我們要求區間[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]兩個區間，因為這兩個區間長度為4，最大值我們可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。擴充套件到一般情況，就是把區間[l，r]分成兩個長度為2^j的區間（保證有f[i，j]對應，其中2^j為小於r-l+1的最大值），例如我們要查詢區間[2,6],則j=2,我們查詢的是兩個區間[2,5],[3,6]。

我們用q[l,r] 表示 從第l個數到第r個數中最大的數,則可以得到：

q[l,r]=max(f[l,j],f[r-(2^j)+1,j]);(j=log(j-r+1)/log(2));

下面是程式碼模板：

int n,q; //n個數，q個查詢
int a[50001]; //待查詢資料
int f[50001][20];
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
void rmq_init()
{
    int i,j,k,m;
m=(int)(log(n)/log(2.0));//保險起見用2.0
//求m,使得2的m次方不大於n
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][0]=a[i];
    }
    for(j=1;j<=m;j++)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            f[i][j]=f[i][j-1];
            k=1<<(j-1);//k等於2的（j-1）次方
            if(i+k<=n) //注意邊界
       f[i][j]=max(f[i][j],f[i+k][j-1]);
        }
    }
}
int rmq_query(int l,int r)
{
    int i,m;
    m=(int)(log(r-l+1)/log(2.0));
    i=max(f[l][m],f[r-(1<<m)+1][m]);
    return i;
}