RMQ (Range Minimum/Maximum Query)問題，就是要求：數字序列區間最值。

如果直接遍歷查詢，複雜度為O(n).

對於比較大的資料和需要多次查詢的場景，都是很不理想的。

常見的方法有線段樹和Sparse Tabel兩種方法。

複雜度：

兩種演算法都需要預處理，預處理的複雜度為：

線段樹(segment tree) O(n)

ST（實質是動態規劃） O(nlogn)

查詢的複雜度：

線段樹(segment tree) O(qlogn) 

ST（實質是動態規劃）O(1)

Sparse Table 

ST實際實際是動態規劃的實現,最小值為例：

用一個二維陣列f(i,j)記錄區間[i,i+2^j-1]區間中的最小值。//這個演算法的精妙所在

其中f[i,0] = a[i]; 

2'(j-1)+2^(j-1)=2^j;

所以：f(i,j)=min{f(i,j-1),f(i+2^(j-1),j-1)};

在預測理的時候需要考慮j的最大值。假設資料總數為N，當我們查詢最長的區間[0,N-1]之間的最值時，即需2^j-1>N;並且在dp的時候i + (1<<j) - 1 < N是就要停止。

自底向上。

void build_st_min(int n,int *num,int *f[MAXN]){
	int i,j;
	for(i=0;i<n;i++)
		f[i][0]=num[i];
	int tmp=log((double)n)/log(2.0);
	for(j=1;j<=tmp;j++)//include value of tmp
		for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
			f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
 

查詢:
假設要查詢從m到n這一段的最小值, 那麼我們先求出一個最大的k, 使得k滿足2^k <= (n - m + 1).（使用log函式，基變換）
於是我們就可以把[m, n]分成兩個長度為2^k的區間: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n](這兩個區間部分重疊);
而我們之前已經求出了f(m, k)為[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)為[n-2^k+1,n-2^k+1+2^k-1]=[n-2^k+1, n]的最小值。
我們只要返回min{f(m,k),f(n-2^k+1,k)} 就是我們想要的答案, 這個演算法的時間複雜度是O(1)的.

int query_min(int a,int b,int *f[MAXN]){
	int k=(int)(log(b-a+1.0)/log(2.0));
	return min(f[a][k],f[b-(1<<k)+1][k]);//regional overlap
}

題目描述：
給定一個數字序列，查詢任意給定區間內數字的最小值。
輸入：
輸入包含多組測試用例，每組測試用例的開頭為一個整數n(1<=n<=100000)，代表數字序列的長度。
接下去一行給出n個數字，代表數字序列。數字在int範圍內。
下一行為一個整數t(1<=t<=10000)，代表查詢的次數。
最後t行，每行給出一個查詢，由兩個整數表示l、r(1<=l<=r<=n)。
輸出：
對於每個查詢，輸出區間[l,r]內的最小值。
樣例輸入：
5
3 2 1 4 3
3
1 3
2 4
4 5
樣例輸出：
1
1
3

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=40;
void build_st_min(int n,int *num,int *f[MAXN]){
	int i,j;
	for(i=0;i<n;i++)
		f[i][0]=num[i];
	int tmp=log((double)n)/log(2.0);
	for(j=1;j<=tmp;j++)//include value of tmp
		for(i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
			f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int query_min(int a,int b,int *f[MAXN]){
	int k=(int)(log(b-a+1.0)/log(2.0));
	return min(f[a][k],f[b-(1<<k)+1][k]);//regional overlap
}
int main()  
    {  
        int n,i,q,a,b;  
        while(scanf("%d ",&n)!=EOF)  
        {  
			int *num=new int[n];
			int **f=new int* [n];
			for(i=0;i<n;i++)
				f[i]=new int [MAXN];
            for(i=0;i<n;i++)  
                scanf("%d",&num[i]);  
            build_st_min(n,num,f);  
            scanf("%d",&q);
            for(i=0;i<q;i++)  
            {  
                scanf("%d%d",&a,&b);  
                printf("%d\n",query_min(a-1,b-1,f));  //start from 0
            }  
        }  
        return 0;  
    }  

參考：