小Hi：今天我們來學習一個強大的字串處理工具：字尾自動機（Suffix Automaton，簡稱SAM）。對於一個字串S，它對應的字尾自動機是一個最小的確定有限狀態自動機（DFA），接受且只接受S的字尾。

小Hi：比如對於字串S="aabbabd"，它的字尾自動機是：

其中紅色狀態是終結狀態。你可以發現對於S的字尾，我們都可以從S出發沿著字元標示的路徑（藍色實線）轉移，最終到達終結狀態。例如"bd"對應的路徑是S59，"abd"對應的路徑是S189，"abbabd"對應的路徑是S184679。而對於不是S字尾的字串，你會發現從S出發，最後會到達非終結狀態或者“無路可走”。特別的，對於S的子串，最終會到達一個合法狀態。例如"abba"路徑是S1846，"bbab"路徑是S5467。而對於其他不是S子串的字串，最終會“無路可走”。 例如"aba"對應S18X，"aaba"對應S123X。（X表示沒有轉移匹配該字元）

小Ho：好像很厲害的樣子！對於任意字串都能構造出一個SAM嗎？另外圖中那些綠色虛線是什麼？

小Hi：是的，任意字串都能構造出一個SAM。我們知道SAM本質上是一個DFA，DFA可以用一個五元組 <字符集，狀態集，轉移函式、起始狀態、終結狀態集>來表示。下面我們將依次介紹對於一個給定的字串S如何確定它對應的 狀態集 和 轉移函式 。至於那些綠色虛線雖然不是DFA的一部分，卻是SAM的重要部分，有了這些連結SAM是如虎添翼，我們後面再細講。

SAM的States

小Hi：這一節我們將介紹給定一個字串S，如何確定S對應的SAM有哪些狀態。首先我們先介紹一個概念 子串的結束位置集合 endpos。對於S的一個子串s，endpos(s) = s在S中所有出現的結束位置集合。還是以S="aabbabd"為例，endpos("ab") = {3, 6}，因為"ab"一共出現了2次，結束位置分別是3和6。同理endpos("a") = {1, 2, 5}, endpos("abba") = {5}。

小Hi：我們把S的所有子串的endpos都求出來。如果兩個子串的endpos相等，就把這兩個子串歸為一類。最終這些endpos的等價類就構成的SAM的狀態集合。例如對於S="aabbabd"：

小Ho：這些狀態恰好就是上面SAM圖中的狀態。

小Hi：沒錯。此外，這些狀態還有一些美妙的性質，且等我一一道來。首先對於S的兩個子串s1和s2，不妨設length(s1) <= length(s2)，那麼 s1是s2的字尾當且僅當endpos(s1) ⊇ endpos(s2)，s1不是s2的字尾當且僅當endpos(s1) ∩ endpos(s2) = ∅。

小Ho：我驗證一下啊... 比如"ab"是"aabbab"的字尾，而endpos("ab")={3,6}，endpos("aabbab")={6}，是成立的。"b"是"ab"的字尾，endpos("b")={3,4,6}, endpos("ab")={3,6}也是成立的。"ab"不是"abb"的字尾，endpos("ab")={3,6}，endpos("abb")={4}，兩者沒有交集也是成立的。怎麼證明呢？

小Hi：證明還是比較直觀的。首先證明s1是s2的字尾=>endpos(s1) ⊇ endpos(s2)：既然s1是s2字尾，所以每次s2出現時s1以必然伴隨出現，所以有endpos(s1) ⊇ endpos(s2)。再證明endpos(s1) ⊇ endpos(s2)=>s1是s2的字尾：我們知道對於S的子串s2，endpos(s2)不會是空集，所以endpos(s1) ⊇ endpos(s2)=>存在結束位置x使得s1結束於x，並且s2也結束於x，又length(s1) <= length(s2)，所以s1是s2的字尾。綜上我們可知s1是s2的字尾當且僅當endpos(s1) ⊇ endpos(s2)。s1不是s2的字尾當且僅當endpos(s1) ∩ endpos(s2) = ∅是一個簡單的推論，不再贅述。

小Ho：我好像對SAM的狀態有一些認識了！我剛才看上面的表格就覺得SAM的一個狀態裡包含的子串好像有規律。考慮到SAM中的一個狀態包含的子串都具有相同的endpos，那它們應該都互為字尾？

小Hi：你觀察力還挺敏銳的。下面我們就來講講一個狀態包含的子串究竟有什麼關係。上文提到我們把S的所有子串按endpos分類，每一類就代表一個狀態，所以我們可以認為一個狀態包含了若干個子串。我們用substrings(st)表示狀態st中包含的所有子串的集合，longest(st)表示st包含的最長的子串，shortest(st)表示st包含的最短的子串。例如對於狀態7，substring(7)={aabbab,abbab,bbab,bab}，longest(7)=aabbab，shortest(7)=bab。

小Hi：對於一個狀態st，以及任意s∈substrings(st)，都有s是longest(st)的字尾。證明比較容易，因為endpos(s)=endpos(longest(st))，所以endpos(s) ⊇ endpos(longest(st))，根據我們剛才證明的結論有s是longest(st)的字尾。

小Hi：此外，對於一個狀態st，以及任意的longest(st)的字尾s，如果s的長度滿足：length(shortest(st)) <= length(s) <= length(longsest(st))，那麼s∈substrings(st)。 證明也是比較容易，因為：length(shortest(st)) <= length(s) <= length(longsest(st))，所以endpos(shortest(st)) ⊇ endpos(s) ⊇ endpos(longest(st))， 又endpos(shortest(st)) = endpos(longest(st))，所以endpos(shortest(st)) = endpos(s) = endpos(longest(st))，所以s∈substrings(st)。

小Ho：這麼說來，substrings(st)包含的是longest(st)的一系列連續後綴？

小Hi：沒錯。比如你看狀態7中包含的就是aabbab的長度分別是6，5，4，3的字尾；狀態6包含的是aabba的長度分別是5，4，3，2的字尾。

SAM的Suffix Links

小Hi：前面我們講到substrings(st)包含的是longest(st)的一系列連續後綴。這連續的字尾在某個地方會“斷掉”。比如狀態7，包含的子串依次是aabbab,abbab,bbab,bab。按照連續的規律下一個子串應該是"ab"，但是"ab"沒在狀態7裡，你能想到這是為什麼麼？

小Ho：aabbab,abbab,bbab,bab的endpos都是{6}，下一個"ab"當然也在結束位置6出現過，但是"ab"還在結束位置3出現過，所以"ab"比aabbab,abbab,bbab,bab出現次數更多，於是就被分配到一個新的狀態中了。

小Hi：沒錯，當longest(st)的某個字尾s在新的位置出現時，就會“斷掉”，s會屬於新的狀態。比如上例中"ab"就屬於狀態8，endpos("ab"}={3,6}。當我們進一步考慮"ab"的下一個字尾"b"時，也會遇到相同的情況："b"還在新的位置4出現過，所以endpos("b")={3,4,6}，b屬於狀態5。在接下去處理"b"的字尾我們會遇到空串，endpos("")={0,1,2,3,4,5,6}，狀態是起始狀態S。

小Hi：於是我們可以發現一條狀態序列：7->8->5->S。這個序列的意義是longest(7)即aabbab的字尾依次在狀態7、8、5、S中。我們用Suffix Link這一串狀態連結起來，這條link就是上圖中的綠色虛線。

小Ho：原來如此。

小Hi：Suffix Links後面會有妙用，我們暫且按下不表。

SAM的Transition Function

小Hi：最後我們來介紹SAM的轉移函式。對於一個狀態st，我們首先找到從它開始下一個遇到的字元可能是哪些。我們將st遇到的下一個字元集合記作next(st)，有next(st) = {S[i+1] | i ∈ endpos(st)}。例如next(S)={S[1], S[2], S[3], S[4], S[5], S[6], S[7]}={a, b, d}，next(8)={S[4], S[7]}={b, d}。

小Hi：對於一個狀態st來說和一個next(st)中的字元c，你會發現substrings(st)中的所有子串後面接上一個字元c之後，新的子串仍然都屬於同一個狀態。比如對於狀態4，next(4)={a}，aabb,abb,bb後面接上字元a得到aabba，abba，bba，這些子串都屬於狀態6。

小Hi：所以我們對於一個狀態st和一個字元c∈next(st)，可以定義轉移函式trans(st, c) = x | longest(st) + c ∈ substrings(x) 。換句話說，我們在longest(st)（隨便哪個子串都會得到相同的結果）後面接上一個字元c得到一個新的子串s，找到包含s的狀態x，那麼trans(st, c)就等於x。

小Ho：吼~ 終於把SAM中各個部分搞明白了。

小Hi：SAM的構造有時空複雜度均為O(length(S))的演算法，我們將在後面介紹。這一期你可以先用暴力演算法依照定義構造SAM，先對SAM有個直觀認識再說。

小Ho：沒問題，暴力演算法我最拿手了。我先寫程式去了。