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條件概率

設試驗E的樣本空間為S,  A,  B是事件, 要考慮在A已經發生的條件下B發生的概率, 這就是條件概率問題.

1. 定義:    設A, B是兩個事件, 且P(A)>0, 稱

為在事件A發生的條件下事件B發生的條件概率

條件概率滿足三個條件
非負性：對於每一事件B有
規範性：對於必然事件S，有
可列可加性：設B1,B2,…是兩兩互不相容的事件，則




另外，對於任意兩個事件

乘法定理

由條件概率公式能迅速推知乘法定理

推廣到多個事件的積事件情況

全概率公式與貝葉斯公式

樣本空間劃分

設試驗E的樣本空間為S, A為E的事件, B1,B2,…Bn為樣本空間S的一個劃分, 且P(Bi)>0,i=1,…n,則成下式為全概率公式

貝葉斯(Bayes公式)

設試驗E的樣本空間為S, A為E的事件, B1,B2,…Bn為樣本空間S的一個劃分, 且P(A) >0, P(Bi)>0, i=1,…n, 則稱下式為

特別在n=2情況下，全概率公式與貝葉斯公式可寫為:

獨立性

設A,B為兩事件,如過滿足P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B相互獨立
若P(A)>0, P(B)>0,則A,B相互獨立與A,B互不相容不能同時成立
若A,B相互獨立,則下列各對事件也相互獨立:

若三個事件A,B,C滿足：
P(AB)=P(A)P(B)
P(AC)=P(A)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
則稱事件ABC相互獨立

若事件A1,A2,…An相互獨立，則其中任意k(2≤k≤n)個事件也是相互獨立

若A,B相互獨立，則

獨立事件的乘法定理和加法定理

隨機變量回顧

設隨機試驗的樣本空間為S={e}. X=X(e)是定義在樣本空間S上的實值單值函式.稱X=X(e)為隨機變數
離散型隨機變數
連續型隨機變數

離散型隨機變數: 

有些隨機變數,它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個,這種隨機變數稱為離散型隨機變數
設離散型隨機變數X所有可能取的值為xk(k=1,2,…),X取各個可能值的概率,即事件{X=xk}的概率, 為
      P{X=xk}=pk, k=1,2,…

該式稱為離散型變數X的分佈律 (分佈律也可用表格形式呈現，X的概率以一定的規律分佈在各個可能值上，因此稱為分佈律)

由概率的定義，滿足如下條件:

pk ≥ 0, k = 1, 2, …

(0-1)分佈

設隨機變數X可能取0與1兩個值,它的分佈律為

P{X=k}=p^k*(1-p)^(n-k),0<p<1,k∈{0,1}

二項分佈

設試驗E只有兩個可能結果:    則稱E為伯努利試驗. 設
將E獨立重複進行n次, 則稱這一串重複的獨立試驗為n重伯努利試驗. 重複實值在每次試驗中P(A)=p保持不變，獨立實值各次試驗結果互不影響。

X表示n重伯努利試驗中事件A發生的次數,X是一個隨機變數,由於各次試驗相互獨立,因此事件A在指定的k(1≤k≤n)次試驗中發生，在其他(n-k)次試驗中A不發生,得到n重伯努利試驗的分佈律

X服從引數為n,p的二項分佈

n=1時伯努利分佈變成了0-1分佈