首先，什麼是離線演算法，線上演算法呢。在查詢問題中，離線演算法需要先將所有查詢全部輸入，然後統一計算，最後再同意輸出。就比如下面介紹的Tarjan求LCA；線上演算法就是像前面樹上倍增求LCA一樣，預處理（求倍增過程中所需要的量們）所花費的時間相對於整個程式來說較大，而查詢速度相對整個程式來說很快。

     LCA的Tarjan演算法的核心是“向上標記”，即不同的點有不同的標記，沒訪問的點無標記，即為“0”、訪問過但沒有回溯的點標記為“1”、訪問過並且回溯過的點標記為“2”。然後在dfs序的支配下，一個即將被回溯的“1”節點與當前樹中任意一個回溯過的“2”節點的最近公共祖先LCA即為：“2”點到根節點的路徑上的第一個“1”節點。

     最後找“2”型節點到根節點路徑上第一個“1”型節點的操作，可以用並查集優化，即那個“1”型點就是並查集中對應聯通塊中的代表元素：find（x）。

PS：補充小知識，並查集的時間複雜度可以近似為o（1）。

例題：HDU2586   http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2586

AC程式碼：

/*離線演算法，Tarjan求LCA，複雜度o(n+m)*/
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<ctime>
#define ll long long
using namespace std;
const int SIZE=50010;
int ver[2*SIZE],Next[2*SIZE],edge[2*SIZE],head[SIZE];//鄰接表
int fat[SIZE],dist[SIZE],v[SIZE],ans[SIZE];//並查集fat、節點距離根節點的距離、標記陣列、兩點間距離
vector <int> query[SIZE],query_id[SIZE];//某次查詢的x、y；該查詢的 查詢標號
int T,n,m,tot;//多組輸入、n、嗎、鄰接表邊數、
void add(int x,int y,int z)
{
    ver[++tot]=y;
    edge[tot]=z;
    Next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
void add_query(int x,int y,int id)//離線：新增查詢
{
    query[x].push_back(y);
    query_id[x].push_back(id);
    query[y].push_back(x);
    query_id[y].push_back(id);
}
int find(int x)
{
    if(x==fat[x])return fat[x];
    return fat[x]=find(fat[x]);
}
void unionn(int x,int y)
{
    int fa=find(x),fb=find(y);
    if(fa!=fb)
    {
        fat[fa]=fb;
    }
}
void tarjan(int x)//dfs
{
    v[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=Next[i])
    {
        int y=ver[i];
        if(v[y])continue;
        dist[y]=dist[x]+edge[i];//dfs求樹中節點到根節點的距離，PS：不是深度。
        tarjan(y);
        unionn(y,x);
    }
    for(int i=0;i<query[x].size();++i)
    {
        int y=query[x][i],id=query_id[x][i];
        if(v[y]==2)
        {
            int lca=find(y);//x、y的公共祖先

            ans[id]=dist[x]+dist[y]-2*dist[lca];//公式求答案

            //ans[id]=min(ans[id],dist[x]+dist[y]-2*dist[lca]);書上這麼寫的，但沒必要
        }
    }
    v[x]=2;
}
int main()
{
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            head[i]=0;
            fat[i]=i;//一系列初始化;
            v[i]=0;
            query[i].clear();
            query_id[i].clear();
        }
        tot=0;
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            int x,y,z;
            cin>>x>>y>>z;
            add(x,y,z);
            add(y,x,z);
        }
        for(int i=1;i<=m;++i)//離線
        {
            int x,y;
            cin>>x>>y;
            if(x==y)ans[i]=0;
            else
            {
                add_query(x,y,i);
                ans[i]=(1<<30);
            }
        }
        tarjan(1);//離線

        for(int i=1;i<=m;++i)cout<<ans[i]<<endl;
    }
    return 0;
}
 

The end；