Codeforces 161E-Tetrahedron

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題意

一個正四面體頂點為A，B，C，D，從D出發，每走一步，更變當前所在頂點（不能保持不變），給定一個數 n ，求能有幾種不同路徑使得第 n 步走到 D。

題解

• 方法一（遞推）$O(n)$
  分兩種情況：1.第 n-2 步不在 D， 2.第 n-2 步在 D
  設 a[n] 是第 n 步到達 D 的不同路徑數。
  · 對於 1 情況：第 n-2 步在A，B，C當中的一點，那麼這時，在第 n-1 步能夠到達 D，但其實他可以選擇在第 n-1 到達另外兩點，然後在第 n 步到達D，所以這種情況有 2a[n-1]
  種。
  · 對於 2 情況：第 n-2 步在D點，那麼他可以通過走到A，B，C中的任意一點，再回到D點，所以這種情況有 3a[n-2] 種。
  · 故有 a[n]=2a[n-1]+3a[n-2]
• 方法二（公式）($O(log_{2}{n})$)
  有上述公式，就能用特徵方程解出 a[n] 表示式，對於任意的：$A_{n}=pA_{n-1}+qA_{n-2}$有特徵方程可寫成：$x^{2}=px+q$若其有解$x_{1}，x_{2}$，則有：$A_n=a{x}_1^{n-1}+b{x}_2^n$
  −1A_{n}=ax_{1}^{n-1}+bx_{2}^{n-1}於是我們可以根據方法一中的表示式得出：$a_{n}=\frac{3}{4}(3^{n-1}-(-1)^{n-1})~~(n>1)$於是再運用快速冪來求$3^{n-1}$即可。還要尋找 4 的逆元，否則無法邊運算邊取模，很容易發現 $\frac{mod+1}{4}$ 是 4 在 mod 中的逆元。（因為 mod = 1e9+7）
• 方法三（動態規劃）
  （$O(n)$）
  用 dp[i][j] 表示第 i 步走到 j 點，則有：$dp[i][j]=dp[i][j]+dp[i-1][k]~~(j\ne{k})$於是從遍歷i，j，k，最後取 dp[n][3] 即可
• 方法四（概率）
  走 n 步的總共不同路徑有$3^{n}$條，若算出第 n 點到達 D 的概率，最後乘上$3^{n}$再取模即可。· 設$P_{n}(A)$為第 n 步到達 A 點的概率，那麼由對稱性可知：$P_{n}(A)+P_{n}(B)+P_{n}(C)+P_{n}(D)=1$又知A，B，C三點完全等價，故有$P_{n}(A)=P_{n}(B)=P_{n}(C)=\frac{1-P_{n}(D)}{3}$然後又可知第 n-1 步必定在A，B，C當中一點，且無論在哪一點總有$\frac{1}{3}$的概率走到D，故有：$P_{n+1}(D)=\frac{1}{3}(P_{n}(A)+P_{n}(B)+P_{n}(C))=\frac{1-P_{n}(D)}{3}$結合$P_{1}(D)=0$可算出$P_{n}(D)$的表示式為：$3^{n}P_{n}(D)=\frac{3}{4}(3^{n-1}-(-1)^{n-1})$

實現1（遞推）

#include <stdio.h>
const int mod = (int)1e9 + 7;
const int maxn = (int)1e7 + 5;
long long a[maxn];
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int i;
    a[0] = 3;
    a[1] = 6;
    for (i = 2; i <= n-2; i++)
        a[i] = (2 * a[i - 1] + 3 * a[i - 2])%mod;
    printf("%I64d\n", a[n-2]);
}

實現1`（遞推，優化空間）

#include <stdio.h>
const int mod = (int)1e9 + 7;
const int maxn = (int)1e7 + 5;
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int i;
    long long a=1,b=0,c=0;
    for (i = 2; i <= n; i++){        
        c = (2 * b + 3 * a)%mod;        
        a=b;        
        b=c;
    }
    printf("%I64d\n", c);
}

實現2（公式，快速冪）

#include <stdio.h>
const int mod = (int)1e9 + 7;
const int inv4 = (mod + 1) / 4;//4的逆元
    long long qpow(long long c, int n) {//快速冪
    long long ans=1;
    while (n > 0) {
        if (n & 1)            
        ans =ans*c%mod;        
        c=c*c%mod;        
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
int solve(int n) {
    long long ans;
    if (n & 1)        
        ans = (3 * (qpow(3, n - 1) - 1))%mod * inv4 %mod;
    else        
    ans = (3 * (qpow(3, n - 1) + 1))%mod * inv4 %mod;
    return (int)ans;
}
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    printf("%d\n", solve(n));
}

實現3（動態規劃）

#include <stdio.h> 
const int mod = (int)1e9 + 7; 
int d[(int)1e7+5][4];//0=A,1=B,2=C,3=D 
int main() {     
    int n;     
    scanf("%d", &n);     
    d[1][0] = d[1][1] = d[1][2] = 1;    
    for (int i = 1; i <= n; i++)        
        for (int j = 0; j < 4; j++)            
            for (int k = 0; k < 4; k++)                
                if (j != k)                    
                    d[i][j] = (d[i][j] + d[i - 1][k]) % mod;    
    printf("%d", d[n][3]);
}