目錄

2  問題描述

1 子序列概念

一個給定序列的子序列是在序列中刪除若干個元素後得到的序列。在這裡，首先說明子序列的概念（切記子序列非子集的概念），例如是序列的一個子序列，則序列在序列中相對應的下標為，序列和的下標都是從1開始。

2  問題描述

如果給定兩個序列和序列，當另外一個序列即是的子序列又是的子序列，那麼稱序列是序列和序列的公共子序列。

假如,這兩個序列，則序列是和的一個公共子序列，但他不是一個最長的公共子序列。而序列才是一個最長的公共子序列，他的長度為4，應為序列和沒有長度大於四的公共子序列。

瞭解了最長公共子序列，那麼最長公共子序列問題就是在給定的兩個序列

2.1 問題分析：

設序列和序列的最長公共子序列是。

（1）如果,則,並且是和的最長公共子序列。

（2）如果並且,那麼是和的一個最長公共子序列。

（3）如果並且,那麼是和的一個最長公共子序列。

在這裡，其中;;.

2.2 動態規劃求解公式

根據以上問題分析，我們要找出序列和的最長公共子序列，可以按照以下遞迴進行求解：當時，（即兩個序列最後一個字元相同），那我們的變為求解和得最長公共子序列在加上即可，就可以得到和的一個最長公共子序列。當時，必須求解兩個問題，即找出和，和兩者當中較長的一個公共子序列 ，即得到最終結果，所以我們建立了以上的遞迴公式求解。我們用

下面我們就可以寫出求最長公共子序列的遞推公式：

2.3 演算法展示

#include "pch.h"
#include <iostream>
using namespace std;
int LengthString(char *x, char *y, int m, int n, int **c, int **b)
{
	//x和y是兩個字串，m和n分別是其長度，二維陣列儲存最長公共序列長度，b陣列記錄在哪個子問題下得到的解
	for (int i = 0;i <= m;i++)
		c[i][0] = 0;
	for (int j = 0;j <= n;j++)
		c[0][j] = 0;
	for (int i = 1;i <= m;i++)
	{
		for (int j = 1;j <= n;j++)
		{
			if (x[i] == y[j])
			{
				c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
				b[i][j] = 1;
			}
			else
				if (c[i][j - 1] > c[i - 1][j])
				{
					c[i][j] = c[i][j - 1];
					b[i][j] = 2;
				}
				else
				{
					c[i][j] = c[i - 1][j];
					b[i][j] = 3;
				}
		}
	}
	return c[m][n];
}
void LCS(int i, int j, char *x, int **b)
{
	if (i == 0 || j == 0)
		return;
	if (b[i][j] == 1)
	{
		LCS(i - 1, j - 1, x, b);
		cout << x[i-1] << " ";
	}
	else
		if (b[i][j] == 2)LCS(i - 1, j, x, b);
		else
			LCS(i, j - 1, x, b);
}
int main()
{
	int charNum_1;
	int charNum_2;
	cout << "請輸入兩個字串的長度:" << endl;
	cin >> charNum_1 >> charNum_2;
	char *x = new char[charNum_1];
	char *y=new char[charNum_2];
	int **b = new int*[charNum_1];
	int **c = new int*[charNum_1];
	for (int i = 0;i <= 7;i++)//申請空間
	{
		b[i] = new int[charNum_2];
		c[i] = new int[charNum_2];
	}
	for (int i = 0;i <= charNum_1;i++)//初始化
	{
		for (int j = 0;j <= charNum_2;j++)
		{
			b[i][j] = 0;
			c[i][j] = 0;
		}
		cout << endl;
	}
	cout << "請輸入字串 1:";
	for (int i = 0;i <charNum_1;i++)
	{
		cin >> x[i];
	}
	cout << "請輸入字串 2:";
	for (int i = 0;i <charNum_2;i++)
	{
		cin >> y[i];
	}
	int len=LengthString(x, y, charNum_1, charNum_2, c, b);
	
	
	cout << "最長公共子串長度是:" << len << endl;
	cout << "最長公共子串是:";
	LCS(charNum_1, charNum_2, x, b);
	for (int i = 0; i <= charNum_1; i++)    //釋放動態申請的二維陣列空間
		delete[] c[i];
	delete[] c;
	
}
 

 由於每個陣列單元計算耗費的時間，所以演算法LengthString的時間複雜度為

2.4 求解最長序列輸出

 由以上我們求出的只是最長公共子序列的長度，最長子序列是什麼還沒求出。所以我們根據陣列繼續構造最長子序列，首先從開始，在陣列中依次搜尋，當時，表示和的最長公共子序列是由和加上得到的，當表示和的最長公共子序列和與的最長公共子序列相同，當時，表示和的最長公共子序列和與的子序列相同，由此我們得到遞迴求解公共子序列的演算法。

void LCS(int i, int j, char *x, int **b)
{
	//i和j分別表示序列x和y的長度
	if (i == 0 || j == 0)
		return;
	if (b[i][j] == 1)
	{
		LCS(i - 1, j - 1, x, b);
		cout << x[i-1] << " ";
	}
	else
		if (b[i][j] == 2)LCS(i - 1, j, x, b);
		else
			LCS(i, j - 1, x, b);
}

在演算法中，由於每次遞迴使得i和j的值每次都減小1，所以演算法的時間複雜度為.