題目

有 N 種物品和一個容量為 V 的揹包。第 i 種物品最多有 M i 件可用,每件耗費的空間是 C i ,價值是 W i 。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的耗費的空間總和不超過揹包容量,且價值總和最大。

狀態轉移方程:

F [i , v] = max {F [i − 1, v − k ∗ C i ] + k ∗ W i | 0 ≤ k ≤ M i }
複雜度是 O(V ΣM i ) 。
看見了沒是不是很像完全揹包問題，所以他們可以相同的處理。

程式碼實現：

基於以上狀態方程的實現，完全揹包問題也可以這麼處理

# F [i , v] = max {F [i − 1, v − k ∗ C i ] + k ∗ W i | 0 ≤ k ≤ M i }
 

import numpy as np
def pack_multiple_Bottom_up(N,V,C,W,M):
    list = np.zeros((N+1,V+1),dtype=int)

    for i in range(1,N+1):
        for j in range(0,V+1):
            t = min(j // C[i-1],M[i-1])
            result = -1000
            for k in range(t+1):
                A = list[i-1,j-k*C[i-1]] + k*W[
 
i-1]
                if A > result:
                    result = A
            list[i,j] = result         
     
    return list[N,V]

轉化為01揹包問題，混合揹包問題也可以這麼實現：

def change_multiple_to_01(N,V,C,W,M):
    C_ =[]
    W_ =[]
    
    for i in range(N):
        t = min(V // C[i],M[i])
        k = 1
        j =
 
 t
        while 2*k <= t:
            C_.append(k*C[i])
            W_.append(k*W[i]) 
            j -= k
            k *= 2
        C_.append(j*C[i])
        W_.append(j*W[i])

    def pack_0_1_first(N,V,C,W):    
        F =[0]*(V+1)    
        for i in range(1,N+1):
            for v in range(V,C[i-1]-1,-1):
                F[v] = max(F[v],F[v-C[i-1]] + W[i-1])
        return F[V]
            
    N_ = len(C_)
    return pack_0_1_first(N_,V,C_,W_)

多重揹包可行性問題

轉化為01揹包問題實現：

import numpy as np
def change_multiple_to_01_yes_or_no(N,V,C,M):
    C_ =[]
    
    for i in range(N):
        t = min(V // C[i],M[i])
        k = 1
        j = t
        while 2*k <= t:
            C_.append(k*C[i])
            j -= k
            k *= 2
        C_.append(j*C[i])

    def pack_0_1_first(N,V,C):    
        F =[False]*(V+1)
        F[0] = True   
        
        for i in range(1,N+1):
            for v in range(V,C[i-1]-1,-1):
                F[v] = F[v] or F[v-C[i-1]]
        return F[V]
            
    N_ = len(C_)
    return pack_0_1_first(N_,V,C_)

基於一種優化的方法

狀態方程如下：

def pack_multiple_yes_or_no(N,V,C,M):
    list = np.zeros((N+1,V+1),dtype=int)
    list[:,:] = -1
    list[0,0] = 0
    for i in range(1,N+1):
        
        for j in range(V+1):
            if list[i-1,j] >=0:
                list[i,j] = M[i-1]
            else:
                list[i,j] = -1
        
        for j in range(V-C[i-1]+1):
            if list[i,j] >0:
                list[i,j+C[i-1]] = max(list[i,j+C[i-1]],list[i,j]-1) #list[i,j]-1 #
                
    return list[N,V]