續 常用演算法（一）

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五，動態規劃

適用條件

• 問題的解可由子問題的解組合而成；
• 子問題有重疊，會被重複求解；
• 無後效性。某階段的狀態一旦確定，則此後過程的演變不再受此前各種狀態及決策的影響。例如鋼條切割問題。當n=3的最佳方案求出之後，計算n=4時的最佳方案時不會再影響到n=3的最佳方案的結果了。又例如最大子陣列的和問題，當P[i]求出之後，在計算P[i+1]時，不會改變P[i]的值。
• 經常用於求最優解，或求完成某種任務的方法個數

解題步驟

1. 求出遞推式（求遞推式可以採用自頂向下的選擇法，也可採用自底向上的遞推法。）
   • 選擇法(推薦，更直觀)：主問題上做一個選擇，問題變化成一個或多個子問題。常用於問題能夠被化為多個子問題的情況：如干活（連續兩天干活後必須休息一天）。又如best time to buy and sell a stock IV
   • 遞推法：假設子問題已經被解決，主問題在子問題的基礎上如何解：常用於問題能夠被化為一個子問題的情況。（最大子陣列的和）
2. 第二步：自底向上，用一個數組儲存子問題的求解結果。或自頂向下，用cache儲存結果　

動態規劃的變形

有些問題難以做到直接使用動態規劃求解，需要一個轉換。例如最大子陣列的和問題。如果希望直接用動態規劃，令P[i]為子陣列0到i的最大子陣列的和，則難以推匯出P[i+1]和P[i]的關係。所以，令P[i]為子陣列0到i的，以i為右邊界的最大子陣列的和，則可以容易推匯出P[i+1]與P[i]的關係。

• Maximum sub array
• Longest palindrome string
• Unique Binary search tree

有些題中，為了求得最終結果，需要規劃多個遞推式。

• Maximum product subarray 此題以i為右邊界的子陣列的最大乘積需要依賴於以i-1為右邊界的子陣列的最大（正數）和最小乘積（負數）。負數x負數=正數
• Best time to buy and sell stock IV 兩遞推式：前i天最多允許j次交易的全域性最優解g[i][j]和前i天最多允許j次交易，且最後一次交易發生在第i天的區域性最優解l[i][j]

六，貪心法

適用條件

• 可用動態規劃解的問題。
• 尋優問題
• 當前問題做出一個最優選擇之後，轉化為唯一的一個子問題，然後遞迴求解
• 動態規劃中，做出的每一個選擇，依賴於子問題的解。貪心則不依賴子問題的解，它只是當前最優的方案。例如Jump Game。如從正向開始求解，令P[i]為從i處到目的地所需要的最少步數，則這是個動態規劃的方案。因為從i出走出的第一步到哪個位置依賴於子問題P[j] ( j是>i且i能到達的所有位置)的值。如從終點反向開始求解，第一步為能到達終點的最遠的一個位置，然後遞迴求解，則是貪心方案，因為當前選擇並未依賴任何子問題的解。事實上，子問題尚未求解。

解題步驟

　　自頂向下，用遞迴的方式

前提

　　需要證明這個貪心的選擇能夠得到最優解

題例

• Jump game
• Meeting room

七，排序應用

全排序

• Container with most water
• 2 sum

• Permutation II
• Subsets II

• Merge Intervals

部分排序

• Find k biggest number

• Maximum Gap