I.問題描述

我們在08小節給出一個計算三維向量叉積的公式，但是這個公式為啥是那樣呢？

為啥這樣計算出的向量滿足三條性質呢？

(1).長度=平行四邊形的面積 (2).方向垂直於向量v和向量u (3).滿足右手定則

通過公式推理，我們可以得出滿足兩條性質。但是我們下面用更直觀的解釋。

II.預備知識

1.對偶性

指和一個向量點積 和 用這個向量進行線性變換 等價

III.證明計劃

1.根據向量v和w定義一個三維到一維的線性變換 指: 定義一個線性變換方程，可以把三維向量轉到一維的數，用到非方陣

2.找到它的對偶向量 指: 把線性變換矩陣 換成 向量形式

3.說明這個對偶向量就是指: 證明這個向量在幾何上滿足叉積的三個性質，而計算描述就是最終的向量結果

1.從行列式考慮

行列式確實能描述面積，前面行列式那章講過了。

三個三維向量的體積可以通過行列式來計算，輸出一個數

上圖不是叉積，因為叉積的定義是接受倆三維向量並輸出一個向量。並不是接受三個向量並輸出一個數

2.證明的轉折點

(1)三維空間到數軸的線性變換

把第一列換成向量(x,y,z),該向量可變，所以我們就通過行列式定義了一個三維向量到一維的函式

(函式的值是體積，有正負號)

該函式是線性的，所以可以用線性變換的形式表示這個函式。

線性變換和向量本身存在對偶性，所以我們可以把它立起來表示成點積。

(1)從計算角度解出p向量

現在我們要找出一個p向量，使等號倆邊相等

倆邊展開，我們就得到p向量的座標，注意p的座標是用i基，j基和k基描述的

回到叉積的計算，i基，j基，k基是傳遞一個訊號:把這些係數解析成一個向量的座標(來表明叉積是生成一個向量)

下面我們來證明我們解出的p向量的座標確實是一個垂直於向量v和u並且大小等於所圍面積的向量。

(2)從幾何角度觀察p向量

前面不是已經解出向量p了嗎？其實下面是從幾何角度考慮該向量的性質，而不是計算角度。

點積的幾何描述

體積如圖所示，所以線性變換函式的作用是把向量(x,y,z)先做投影，再乘以底面積

該體積的計算又等價於 【向量(x,y,z)和一個方向垂直於向量v和u，大小為他倆所圍面積的向量】 的點積

所以我們找到了p的幾何描述，其為【大小方向垂直於向量v和u，大小為他倆所圍面積的向量】

前面的計算描述也順理成章地滿足這個幾何描述。所以我們找到了p向量，他滿足叉積的性質。

所以把這個座標用行列式描述就是以下形式了。我們實現了計算角度和幾何角度的關聯,左邊是計算角度，右邊是幾何角度。

總結

牢記對不確定的東西的證明過程是 先算出計算描述，然後證明你這個計算描述滿足你想要的幾何性質。

還有一種定義公理的過程是 先給出一個定義的幾何描述(即說明這個定義想幹啥)，然後用計算描述表達出來(這就不用證明了，你就把計算描述當成一種表達你想法的語言即可)。比如矩陣和向量的乘法就是描述線性變換的，這裡就是一種描述語言，描述你想用它幹嘛，沒啥可證的。