線性代數的本質-08第二部分-以線性代數的眼光看叉積
阿新 • • 發佈：2018-08-17
於平 strong 距離 分布 說明 可能 style 這就是 多維
叉積究竟應該如何理解呢？如何從多維空間壓縮到一維空間呢？如何解讀他們的坐標呢？
對偶性的思想在於：當觀察到多維空間向數軸的線性變換時，它均與空間中的唯一一個向量所對應，應用線性變換和這個向量點乘等價。
數值上說：這是因為這類線性變換可以用一個只有一行的矩陣描述，而它的每一列給出了基向量變換後的位置。
- 叉積
- 根據向量v和向量w定義一個三維到一維的線性變換
- 找到它的對偶向量
- 說明這個對偶向量就是向量v和向量w的叉積
- 三維向量的叉積
三維向量的叉積，並非是三個三維向量的行列式（解決了上一節內容的疑惑！）真正的三維向量的叉積接收兩個向量並且輸出一個向量。
- 何為三維向量的叉積
三維向量的叉積，接收兩個向量並且接收一個向量（那麽等價的行列式計算應該如何描述）。
- 將第一個向量u看作是可變向量，比如x,y,z，而向量v和w保持不變。
- 此時，擁有一個三維空間到數軸的函數。
- 輸入一個向量，通過矩陣的行列式得到一個數。
幾何意義是，對於任意一個輸入的向量（x,y,z）,均考慮為由它和v和w確定的平行六面體。得到其體積，然後確定符號。
- 若承認是線性的，那麽矩陣的乘法可以描述這個函數了
具體描述，這個函數從三維空間到一維空間，會存在一個1×3的矩陣代表這個變換。
對偶性的角度考慮，從多維空間到一維空間的變換的特別之處在於，可以將整個矩陣樹立起來，將整個過程看作與這個特定向量的點積
。～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～以上思考過程是核心的理解過程～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
在此，我們擁有一個從三維空間到數軸的函數了。
輸入一個向量（x,y,z），然後通過矩陣的行列式得到一個數。
函數的幾何意義是，對於任意輸入向量（x,y,z）,均考慮為由它和v與w確定的平行六面體，得到其體積然後根據取向確定符號。
- 幾何理解
前言考慮：將向量p與向量（x,y,z）點乘時，所得結果等於一個由（x,y,z）和v與w向量確定的平行六面體的有向體積，那麽什麽樣的向量p可以滿足這一特殊性質。
- 按照幾何角度分析，如果最後結果是平行六面體的體積，那麽向量p的模長應該等於v與w向量張成平面的面積。
- 其次，向量p的方向應該與平行四邊形所在的面垂直，以此保證向量p與向量（x,y,z）點乘時，向量（x,y,z）恰好映射到向量p為高。（棒！畫個圖一目了然）
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～下面聽解答～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
- 思考方式，是這樣應該無誤了，並且以此說明向量p應該是唯一確定的（前提是必須垂直於平面，並且垂直平面是認為設定的）。
- 有趣的彈幕
- 當u取原點時，這一變換會使之縮到原點，因為平行六面體已經沒有高了。
- 根據相似原理，當u在一條直線上運動時，這個平行六面體的體積與u的長度呈正比。
- 所以在這條直線上等距離取u時，這一變換會使得這些點在數軸上等距離分布。
- 根據前面點積的介紹，這是一個線性變換
- 有趣的評論區
- 其實向量積並不是線性空間內稟的東西，不像內積，總是可以良好的定義的。如果追根究底的話，會涉及的“外代數”這種非交換代數（因為非交換，所以才要有右手定則）。向量積只有在三維向量空間才能定義，理由也只不過是Λ^2(R^3)恰巧同構於R^3而已。
- 對於某些【x y z】，使得這個等式成立的p可能不需要垂直於vw平面，但是考慮對於所有任意的【xi yi zi】，如果p使得這個等式成立，那麽p一定是垂直於vw平面的。不知道這麽說你能理解不……（某位同學回答一位糾結於P可以不垂直平面而得到無數個P的同學）
- 評論區好多內容，說的大體相同，我就粘帖一個話最少的吧。點積與叉積有一個相似之處就是能夠將原本三維的向量轉化為一個常數（constant)，盡管叉積和點積所產生的常數意義是不一樣的（叉積出的數是面積，點積出的數是一個向量的投影長度與另一個向量長度之積），但是這兩種積（product)是否存在某種聯系呢？作者引入了這樣一個模型來探究點積與叉積的關系：在三維空間中一個任意向量（x y z)與一個待求向量P相點乘時，若其結果，與該任意向量（x y z)與兩個已知向量（v1 v2 v3)（w1 w2 w3)相叉乘的結果相等時，試問：待求向量P與已知的兩個已知向量(v1 v2 v3)(w1 w2 w3)有什麽關系？這個問題的答案是：向量P的大小（長度）在數值上等於兩個已知向量(v1 v2 v3)(w1 w2 w3)所圍成的平行四邊形的面積，向量P的方向垂直於兩個已知向量（v1 v2 v3)(w1 w2 w3)所在的平面。綜上：一個三維向量與兩個已知三維向量的叉積，等效於這個三維向量點乘一個這樣的向量：它的大小（長度）等於前兩個已知向量所謂乘圖形的面積，它的方向垂直於兩個已知向量所在平面的向量；這就是點積與叉積的相關聯之處。OK,完。
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