卡爾曼濾波總結——KF、EFK、UKF
1.用途
現實是我們的處理和測量模型都是非線性的，結果就是一個不規則分佈，KF能夠使用的前提就是所處理的狀態是滿足高斯分佈的，為了解決這個問題，EKF是尋找一個線性函式來近似這個非線性函式，而UKF就是去找一個與真實分佈近似的高斯分佈。
- KF處理線性模型:
- EKF 通過雅克比和偏導數近似非線性模型，但是忽略了高階導數：（強非線性系統下誤差大，另一方面Jacobian矩陣的計算複雜）
- UKF 通過去點的方式近似非線性模型，因為沒有用雅克比和偏導數，讓計算變得更加簡單，同時也沒有忽略高階導數項。
2.KF
卡爾曼濾波是一種高效率的遞迴濾波器(自迴歸濾波器), 它能夠從一系列的不完全包含噪聲的測量(英文:measurement)中，估計動態系統的狀態，然而簡單的卡爾曼濾波必須應用在符合高斯分佈的系統中。
百度百科是這樣說的，也就是說卡爾曼濾波第一是遞迴濾波，其次KF用於線性系統。
但經過研究和改進，出現了很多卡爾曼，如EKF（extended kalman filter）擴充套件卡爾曼，UKF（Unscented Kalman Filter）無跡卡爾曼等等。
而我們就來研究EKF，而EKF的中心思想就是將非線性系統線形化後再做KF處理。
狀態方程
當我們從最簡單的系統開始，我們假定k時刻的系統狀態與k-1時刻有關，於是我們可以得到方程：
其中a為常量，但是當系統內部有噪聲，我們稱為過程噪聲 ，計為w。所以方程可以寫成：
而我們實際觀測的時候會出現觀測噪聲，於是我們將觀測值計為Z，觀測噪聲為v，那我們可以把k時刻的觀測值與系統狀態值寫成方程：
於是最簡單的系統狀態方程就有啦。
卡爾曼濾波演算法核心思想在於預測+測量反饋，它由兩部分組成，第一部分是 線性系統狀態預測方程，第二部分是 線性系統觀測方程。
這裡系統的預測時候，我們要將通過系統狀態方程計算的預測值作為先驗資訊，之後在觀測部分在重新更新這個資訊。
回頭說狀態的預測，我們引入一個符號 ^在相應的變數上表示該變數是預計值。再說一個新概念：新息。一個時間序列{X(t)}裡，根據歷史資料的預測值，新息是真實值減去預測值。
注：上有波浪線表示新息，也有用字母e表示的；上面尖的是預測值；無標註為真實值
我們給出一個優化過的預測值，新預測值 = 上一輪預測值（先驗） + 權重 × 新息，即：
那下一個問題就是權重g是怎麼計算得出的呢？答案是間接的從噪聲裡求得的。當我們將估計協方差叫做p，而感測器的協方差為r，我們通過這兩個值計算權重。
既然獲得了g，我們下一步將先驗資訊輸入到上面的兩個方程中獲得後驗預測值，也就是我們的輸出值。
那整個計算步驟和過程就應該是這樣的：
先預測後更新。具體計算過程和曲線生成可以參考levys教程的Part7。
之後我們再說更復雜一點的系統，系統地狀態方程引入了輸入量U。換句話說有一個U會時刻影響系統狀態量。
而觀測到的觀測值為
那我們新的計算方法就需要引入這兩個新的變數，
同樣是預測，更新，預測下一時刻，更新的計算方式。
而當系統用矩陣的方式寫的狀態方程，就需要以矩陣的方式計算。相同的數學公式及計算方法。如P的計算，
又如G，
還有P的更新，
這樣的話，我們的系統方程及計算步驟方式如下
需要注意的是我們使用的R是對測量誤差v的協方差，當我們在引入一個Q代表過程噪聲引起的誤差時，可以使系統表現更好，即使Q很小，
2.1 非線性系統之EKF
那如果系統是非線性的呢？我們如果將觀測值Z計做X的非線性函式組成的，我們的模型可以改成。
而我們的中心思想是將其線性化，如果我們使用函式一階導為C來計算G和P。
最後系統複雜到這樣的程度，
那我們就引入雅科比矩陣，雅各比矩陣就是方程矩陣對每一個變數的偏導數。
則在向量分析中，雅可比矩陣Jacobian matrix是該函式的所有分量（ 個）對向量
的所有分量（
個）的一階偏導陣列成的矩陣。
函式有 個分量，於是有
行。向量
有
個分量，於是有
列。
而最終，F為f方程的雅可比，H為h方程的雅可比。最終計算如下：
到這裡簡單的EKF就已經完成基本介紹啦。
3.UKF
3.1 模型
z(k+1)=h(x(k+1))
3.2 預測
1.預測sigma point（k+1步的分佈點）
2.預測均值（Xpred)和方差(Ppred)
其中：
3.預測測量值
z(k+1)i=h(x(k+1)i)
從而zpred：
3.3更新
1.更新卡爾曼係數
其中：
2.更新最終值：
