二叉堆可以被看作是一個數組，也可以簡單的看作是一個近似的完全二叉樹，二叉堆有最大堆和最小堆，分別具有堆的性質：最大堆的某個結點的值最多與其父結點一樣大，最小堆則是某個結點的值最多與其父結點一樣小。所以最大堆中最大的結點永遠是根結點，最小堆中最小的結點永遠是根節點。

既然二叉堆是一種數據結構，就有其支持的操作（這裏以最小堆為例）：

• make_heap：建立一個空堆，或者把數組中元素轉換成二叉堆。
• insert：插入元素。
• minimun：返回一個最小數。
• extract_min：移除最小結點。
• union：合並堆

make_heap

先給一組數{27，17，3，16，13，10，1，5，7}輸入數組，數組下標從0開始。然後我們畫出這棵樹：

然後根據近似滿二叉樹的性質，有n個結點，[n/2]+1，[n/2]+2，……，n都是葉結點。然後可以通過對除了葉結點以外的結點i(0到n/2)進行一次下濾的操作，若兒子結點有小於結點i的結點，將兒子結點中最小者與結點i交換，再與交換後的位置的兒子結點繼續比較，直到小於兒子結點或者為葉結點為止。遍歷完，就得到最小堆。 時間復雜度建立空堆O(1)，立地建堆O(n)。

圖示

代碼實現

 1 //維護堆
 2 void max_heapify(int *a, int i) {
 3     int l = 2 * i + 1;
 4     int r = 2
 
 * i + 2;
 5     int largest;
 6     if (a[l] != -1 && a[l] < a[i]) largest = l;
 7     else largest = i;
 8     if (a[r] != -1 && a[r] < a[largest]) largest = r;
 9     if (largest != i) {
10         swap(a[i], a[largest]);
11         max_heapify(a, largest);
12     }
 
13 }
14 //建堆
15 void make_heap(int *a, int n) {
16     for (int i = n / 2; i >= 0; i--) max_heapify(a, i);
17 }

insert

對於插入操作，首先將元素push到數組尾部，然後將其進行上濾操作，也就是將其與父結點比較，如果小於父結點就交換，直到大於等於父結點或者到達根。時間復雜度為O(logn)

舉個例子：在{1，5，3，7，13，10，27，16，17}中插入4。

圖示

代碼實現

1 //n是數組長度
2 void insert(int *a, int num, int &n) {
3     a[n++] = num;
4     for (int i = n - 1; i >= 0; i = (i - 1) / 2) {
5         if (a[i] < a[(i - 1) / 2]) swap(a[i], a[(i - 1) / 2]);
6         else break;
7     }
8 }

minimun

返回最小數，對於最小堆來說返回根即可。時間復雜度O(1)

代碼實現

1 int minimun(int *a) {
2     return a[0];
3 }

extract_min

移除最小頂點，也就是最小堆的根，此時需要將堆最後一個葉節點摘下替換掉根，這樣不會破壞近似滿二叉樹的結構，然後從上至下更新堆，維護堆的性質。時間復雜度O(logn)

圖示

代碼實現

1 void extract_min(int *a, int &n) {
2     a[0] = a[n - 1];
3     n--;
4     max_heapify(a, 0);
5 }

union

合並堆的話其實就相當於把兩個堆數組合並，然後重新建堆。所以時間復雜度也是線性的，為O(n)。

代碼實現

1 void Union(int *a, int *b, int &n, int &m) {
2     for (int i = 0; i < m; i++) {
3         a[n++] = b[i];
4     }
5     m = 0;
6     memset(b, -1, sizeof(b));
7     for (int i = n / 2; i >= 0; i--) max_heapify(a, i);
8 }

這裏就說完了二叉堆，下一篇在隨便說說堆中的二項堆。

隨便說說堆（一）——二叉堆