BZOJ4652: [Noi2016]迴圈之美(莫比烏斯反演,杜教篩)
阿新 • • 發佈:2018-12-22
Description
牛牛是一個熱愛演算法設計的高中生。在他設計的演算法中,常常會使用帶小數的數進行計算。牛牛認為,如果在 k 進位制下,一個數的小數部分是純迴圈的,那麼它就是美的。現在,牛牛想知道:對於已知的十進位制數 n 和 m,在 kk 進位制下,有多少個數值上互不相等的純迴圈小數,可以用分數 xy 表示,其中 1≤x≤n,1≤y≤m,且 x,y是整數 。一個數是純迴圈的,當且僅當其可以寫成以下形式:a.c1˙c2c3…cp-1cp˙其中,a 是一個整數,p≥1;對於 1 ≤i≤p,ci是 kk 進位制下的一位數字。例如,在十進位制下,0.45454545……=0.4˙5˙是純迴圈的,它可以用 5/11Input
只有一行,包含三個十進位制數N,M,K意義如題所述,保證 1≤n≤10^9,1≤m≤10^9,2≤k≤2000Output
一行一個整數,表示滿足條件的美的數的個數。Sample Input
2 6 10Sample Output
4explanation
滿足條件的數分別是:
1/1=1.0000……
1/3=0.3333……
2/1=2.0000……
2/3=0.6666……
1/1 和 2/2 雖然都是純迴圈小數,但因為它們相等,因此只計數一次;同樣,1/3 和 2/6 也只計數一次。
解題思路:
一個喜聞樂見的性質,只要x/y中y與k互質就好了。
所以這道題就是:
$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\epsilon(gcd(i,j))\epsilon (gcd(j, k))$
$\sum_{j=1}^{M}\epsilon(gcd(j,k))\sum_{i=1}^{N}\epsilon(gcd(i,j))$
$\sum_{j=1}^{M}\epsilon(gcd(j,k))\sum_{i=1}^{N}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)$
$\sum_{j=1}^{M}\epsilon(gcd(j,k))\sum_{d=1}^{min(N,M)}\mu(d)\sum_{d|i}^{N}1$
$\sum_{j=1}^{M}\epsilon(gcd(j,k))\sum_{d=1}^{min(N,M)}\mu(d)\left \lfloor \frac{N}{d} \right \rfloor$
${\sum_{d=1}^{min(N,M)}\epsilon(gcd(d,k))\mu(d)\left \lfloor \frac{N}{d} \right \rfloor} \sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{M}{d} \right \rfloor}\epsilon(gcd(i,k))$
莫比烏斯到這裡結束,現在你可以獲得84分,接下來是真正的燒腦環節。
我講的不好,可以看這位巨佬的
總之,將後面那個預處理出來。
再二元遞迴求解整體。
程式碼:
1 #include<map> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 typedef long long lnt; 5 const int N=1000100; 6 struct pos{lnt x,k;pos(lnt a,lnt b){x=a,k=b;}}; 7 bool operator < (pos a,pos b){if(a.x!=b.x)return a.x<b.x;return a.k<b.k;} 8 struct Dark_map{ 9 std::map<pos,lnt>A; 10 void insert(lnt x,lnt k,lnt v){A[pos(x,k)]=v;return ;} 11 bool hav(lnt x,lnt k){return A.find(pos(x,k))!=A.end();} 12 lnt val(lnt x,lnt k){return A[pos(x,k)];} 13 }S; 14 struct New_map{ 15 std::map<lnt,lnt>A; 16 lnt a[N]; 17 void insert(lnt p,lnt x){if(p<N)a[p]=x;else A[p]=x;return ;} 18 bool hav(lnt x){if(x<N)return true;return A.find(x)!=A.end();} 19 lnt val(lnt x){if(x<N)return a[x];return A[x];} 20 }Miu; 21 int prime[N]; 22 int miu[N]; 23 bool vis[N]; 24 int cnt; 25 int n,m,k; 26 int twd[N]; 27 int lst[N]; 28 lnt f[2001]; 29 int hd[2001]; 30 lnt gcd(lnt a,lnt b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);} 31 void adde(int f,int t){cnt++;twd[cnt]=t;lst[cnt]=hd[f];hd[f]=cnt;return ;} 32 void gtp(void) 33 { 34 for(int i=1;i<=k;i++)f[i]=f[i-1]+(gcd(i,k)==1); 35 for(int i=1;i<=k;i++)for(int j=i;j<=k;j+=i)adde(j,i); 36 miu[1]=1,cnt=0; 37 for(int i=2;i<N;i++) 38 { 39 if(!vis[i]) 40 { 41 prime[++cnt]=i; 42 miu[i]=-1; 43 } 44 for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<N;j++) 45 { 46 vis[i*prime[j]]=true; 47 if(i%prime[j]==0) 48 { 49 miu[i*prime[j]]=0; 50 break; 51 } 52 miu[i*prime[j]]=-miu[i]; 53 } 54 } 55 for(int i=1;i<N;i++) 56 Miu.insert(i,Miu.val(i-1)+1ll*miu[i]); 57 return ; 58 } 59 lnt F(lnt x) 60 { 61 return (x/k)*f[k]+f[x%k]; 62 } 63 lnt MIU(lnt x) 64 { 65 if(Miu.hav(x)) 66 return Miu.val(x); 67 lnt tmp=0; 68 for(int i=2,j;i<=x;i=j+1) 69 { 70 j=x/(x/i); 71 tmp+=1ll*(j-i+1)*MIU(x/i); 72 } 73 tmp=1-tmp; 74 Miu.insert(x,tmp); 75 return tmp; 76 } 77 lnt SUM(lnt Nn,lnt Kk) 78 { 79 if(S.hav(Nn,Kk)) 80 return S.val(Nn,Kk); 81 lnt tmp=0; 82 if(Nn<1); 83 else if(Kk==1) 84 tmp=MIU(Nn); 85 else{ 86 for(int I=hd[Kk];I;I=lst[I]) 87 { 88 int x=twd[I]; 89 lnt TMP=miu[x]; 90 if(!TMP) 91 continue; 92 tmp+=SUM(Nn/x,x); 93 } 94 } 95 S.insert(Nn,Kk,tmp); 96 return tmp; 97 } 98 int main() 99 { 100 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); 101 gtp(); 102 lnt ans=0; 103 for(int i=1,j;i<=n&&i<=m;i=j+1) 104 { 105 j=std::min(n/(n/i),m/(m/i)); 106 ans+=(SUM(j,k)-SUM(i-1,k))*(lnt)(n/i)*F(m/i); 107 } 108 printf("%lld\n",ans); 109 return 0; 110 }