最近在做單調佇列，發現了最長上升子序列O(nlogn)的求法也有利用單調佇列的思想。

    最長遞增子序列問題：在一列數中尋找一些數，這些數滿足：任意兩個數a[i]和a[j]，若i<j，必有a[i]<a[j]，這樣最長的子序列稱為最長遞增子序列。

   設dp[i]表示以i為結尾的最長遞增子序列的長度，則狀態轉移方程為：

dp[i] = max{dp[j]+1}, 1<=j<i,a[j]<a[i].

   這樣簡單的複雜度為O(n^2)，其實還有更好的方法。

   考慮兩個數a[x]和a[y]，x<y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，當a[t]要選擇時，到底取哪一個構成最優的呢？顯然選取a[x]更有潛力，因為可能存在a[x]<a[z]<a[y]，這樣a[t]可以獲得更優的值。在這裡給我們一個啟示，當dp[t]一樣時，儘量選擇更小的a[x].

    按dp[t]=k來分類，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，設d[k]記錄這個值，d[k]=min{a[t],dp[t]=k}。

    這時注意到d的兩個特點（重要）：

1. d[k]在計算過程中單調不升；           

2. d陣列是有序的，d[1]<d[2]<..d[n]。

    利用這兩個性質，可以很方便的求解：

1. 設當前已求出的最長上升子序列的長度為len（初始時為1），每次讀入一個新元素x：

2. 若x>d[len]，則直接加入到d的末尾，且len++；（利用性質2）

   否則，在d中二分查詢，找到第一個比x小的數d[k]，並d[k+1]=x，在這裡x<=d[k+1]一定成立（性質1,2）。

1. /** 
2. 最長遞增子序列O(nlogn)演算法： 
3. 狀態轉移方程：f[i] = max{f[i],f[j]+1},1<=j<i,a[j]<a[i]. 
4. 分析：加入x<y,f[x]>=f[y],則x相對於y更有潛力。 
5. 首先根據f[]值分類，記錄滿足f[t]=k的最小的值a[t],記d[k]=min{a[t]},f[t]=k. 
6.     1.發現d[k]在計算過程中單調不上升 
7.     2.d[1]<d[2]<...<d[k] (反證) 1 2 3 8 4 7 
8. 解法： 
9. 1. 設當前最長遞增子序列為len,考慮元素a[i]; 
10. 2. 若d[len]<a[i],則len++，並將d[len]=a[i];
     
11.    否則,在d[0-len]中二分查詢,找到第一個比它小的元素d[k],並d[k+1]=a[i].() 
12. */  
13. #include <iostream>  
14. #include <cstdio>  
15. #include <cstring>  
16. using namespace std;  
17. const int N = 41000;  
18. int a[N];       //a[i] 原始資料  
19. int d[N];       //d[i] 長度為i的遞增子序列的最小值  
20. int BinSearch(int key, int* d, int low, int high)  
21. {  
22.     while(low<=high)  
23.     {  
24.         int mid = (low+high)>>1;  
25.         if(key>d[mid] && key<=d[mid+1])  
26.             return mid;  
27.         else if(key>d[mid])  
28.             low = mid+1;  
29.         else  
30.             high = mid-1;  
31.     }  
32.     return 0;  
33. }  
34. int LIS(int* a, int n, int* d)  
35. {  
36.     int i,j;  
37.     d[1] = a[1];  
38.     int len = 1;        //遞增子序列長度  
39.     for(i = 2; i <= n; i++)  
40.     {  
41.         if(d[len]<a[i])  
42.             j = ++len;  
43.         else  
44.             j = BinSearch(a[i],d,1,len) + 1;  
45.         d[j] = a[i];  
46.     }  
47.     return len;  
48. }  
49. int main()  
50. {  
51.     int t;  
52.     int p;  
53.     scanf("%d",&t);  
54.     while(t--)  
55.     {  
56.         scanf("%d",&p);  
57.         for(int i = 1; i <= p; i++)  
58.             scanf("%d",&a[i]);  
59.         printf("%d\n",LIS(a,p,d));  
60.     }  
61.     return 0;  
62. }