Edit Distance

Given two words word1 and word2, find the minimum number of steps required to convert word1 to word2. (each operation is counted as 1 step.)

You have the following 3 operations permitted on a word:

a) Insert a character
b) Delete a character
c) Replace a character

自然語言處理（NLP）中，有一個基本問題就是求兩個字串的minimal Edit Distance, 也稱Levenshtein distance。受到一篇Edit Distance介紹文章的啟發，本文用動態規劃求取了兩個字串之間的minimal Edit Distance. 動態規劃方程將在下文進行講解。 

1. what is minimal edit distance?
簡單地說，就是僅通過插入(insert)、刪除(delete)和替換(substitute)個操作將一個字串s1變換到另一個字串s2的最少步驟數。熟悉演算法的同學很容易知道這是個動態規劃問題。 
其實一個替換操作可以相當於一個delete+一個insert，所以我們將權值定義如下：
I  (insert)：1
D (delete)：1
S (substitute)：2

2. example:
intention->execution
Minimal edit distance：
delete i ; n->e ; t->x ; insert c ; n->u 求和得cost=8

3.calculate minimal edit distance dynamically
思路見註釋，這裡D[i,j]就是取s1前i個character和s2前j個character所得minimal edit distance
三個操作動態進行更新：
D(i,j)=min { D(i-1, j) +1, D(i, j-1) +1 , D(i-1, j-1) + s1[i]==s2[j] ? 0 : 2}；中的三項分別對應D，I，S。（詳見我同學的部落格）
 

程式碼如下：

public class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        //邊界條件
        if(word1.length() == 0)
    		return word2.length();
    	if(word2.length() == 0)
    		return word1.length();
        /*
         * 本題用動態規劃的解法
         * f[i][j]表示word1的前i個單詞到word2前j個單詞的最短距離
         * 狀態轉移方程：f[i][j] = 
         */
        
        int[][] f = new int[word1.length()][word2.length()];
        boolean isEquals = false;//是否已經有相等
        for(int i = 0 ; i < word2.length(); i++){
            //如果相等，則距離不增加
            if(word1.charAt(0) == word2.charAt(i) && !isEquals){
                f[0][i] = i > 0 ? f[0][i-1]:0;//不能從0開始
                isEquals = true;
            }else{
                f[0][i] = i > 0 ? f[0][i-1]+1:1;
            }
        }
        isEquals = false;//是否已經有相等
        for(int i = 1 ; i < word1.length(); i++){
            //如果相等，則距離不增加
            if(word1.charAt(i) == word2.charAt(0) && !isEquals){
                f[i][0] =  f[i-1][0];//不能從0開始
                isEquals = true;
            }else{
                f[i][0] = f[i-1][0]+1;
            }
        }
        
        for(int i = 1; i < word1.length();i++){
            for(int j = 1; j < word2.length(); j++){
                if(word1.charAt(i) == word2.charAt(j)){
                    f[i][j] = f[i-1][j-1];//相等的話直接相等
                }else{
                    f[i][j] = f[i-1][j-1]+1;
                }
                //然後與從f[i-1][j]+1，f[i][j-1]+1比較，取最小值
                f[i][j] = Math.min(f[i][j],Math.min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1));
            }
        }
        return f[word1.length()-1][word2.length()-1];
    }
}