題目大意

　　有一個1001×n$1001\times n$的的網格，每個格子有q$q$的概率是安全的，1−q$1-q$的概率是危險的。

　　定義一個矩形是合法的當且僅當：

• 這個矩形中每個格子都是安全的
• 必須緊貼網格的下邊界

　　問你最大的合法子矩形大小為k$k$的概率是多少。

　　n≤109,k≤1000$n\le {10}^9,k\le 1000$

　　吉老師：這題本來是k≤20000$k\le 20000$

題解

　　一道好題。

　　我們計算最大子矩形不超過i$i$的答案si$s_i$，那麼答案就是sk−sk−1$s_k-s_{k-1}$。

　　顯然最後一行連續的安全格子不會超過k$k$個。

　　設gi,j$g_{i,j}$表示長度為j$j$，高度為i$i$的海域全部是安全的，剩下的部分未知，最大子矩形

≤k$\le k$的概率。

　　設hi,j$h_{i,j}$表示長度為j$j$，高度為i+1$i+1$的海域中，前i$i$行全部是安全的，剩下的未知且(i+1,j)$(i+1,j)$是危險的，最大子矩形≤k$\le k$的概率。

　　邊界：

gk,1gi,0hi,0=qk(1−q)=1=1(1)(2)(3)$$\begin{array}{}\text{(1)}& g_{k,1}& =q^k(1-q)\text{(2)}& g_{i,0}& =1\text{(3)}& h_{i,0}& =1\end{array}$$
　　那麼我們從k−1$k-1$到1$1$DP，對於i$i$行j$j$列，列舉第i+1$i+1$行的下一個危險的格子在哪個地方，然後轉移：
gi,jhi,j=∑k=0jhi,kgi+1,j−k=∑k=0j−1hi,kgi+1,j−k−1qi(1−q)(4)(5)$$\begin{array}{}\text{(4)}& g_{i,j}& =\sum _{k=0}^j{h}_{i,k}\end{array}$$

gi+1,j−k(5)hi,j=∑k=0j−1hi,kgi+1,j−k−1qi(1−q)
　　因為第i$i$行的寬度不會超過⌊ki⌋$\lfloor \frac{k}{i}\rfloor$，所以的暴力的時間複雜度是∑ki=1⌊

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