Description

給定數列 {hn}前k項，其後每一項滿足
hn = a1*h(n-1) + a2*h(n-2) + … + ak*h(n-k)
其中 a1,a2…ak 為給定數列。請計算 h(n)，並將結果對 1000000007 取模輸出。

Input

第 1 行包含兩個整數 n,k
第 2 行包含 k 個整數 a1,a2…ak
第 3 行包含 k 個整數h[0],h[1],…,h[k-1]
n <= 10^9;k <= 2000; abs(hi)<=10^9; abs(ai)<=10^9

Output

一行一個整數 hn mod 1000000007

Sample Input

6 4

3 -1 0 4

-2 3 1 5

Sample Output

73

解題思路：

很容易想到用矩陣快速冪做，不過是O(k3logn)$O(k^{3}logn)$的，但這種常係數齊次線性遞推構造的矩陣的乘法有比較好的性質，較容易用特徵多項式優化到O(k2logk)$O(k^{2}logk)$或O(klogklogn)$O(klogklogn)$，具體可以看這裡，鄙人寫這篇部落格主要是存模板用……

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int getint()
{
    int i=0
 
,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

const int N=4005,mod=1e9+7;
int n,k,len;
ll ans,a[N],h[N],b[N],c[N],tmp[N];

void mul(ll *A
 
,ll *B)
{
    for(int i=0;i<=len;i++)tmp[i]=0;
    for(int i=0;i<=k;i++)
        for(int j=0;j<=k;j++)
            tmp[i+j]=(tmp[i+j]+A[i]*B[j])%mod;
    for(int i=len;i>=k;i--)
    {
        for(int j=0;j<k;j++)
            tmp[i-k+j]=(tmp[i-k+j]+tmp[i]*a[k-j])%mod;
        tmp[i]=0;
    }
    for(int i=0;i<=len;i++)A[i]=tmp[i];
}

void Pow(ll *A,int B,ll *res)
{
    res[0]=1;
    for(;B;B>>=1,mul(A,A))
        if(B&1)mul(res,A);
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    n=getint(),k=getint(),len=k<<1;
    for(int i=1;i<=k;i++)a[i]=getint();
    for(int i=0;i<k;i++)h[i]=(getint()+mod)%mod;
    if(n<k){printf("%lld\n",h[n]);return 0;}
    c[1]=1;Pow(c,n,b);
    for(int i=0;i<k;i++)ans=(ans+b[i]*h[i])%mod;
    printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}