題目大意

　　一行有n個球，現在將這些球分成k 組，每組可以有一個球或相鄰兩個球。一個球只能在至多一個組中（可以不在任何組中）。求對於1≤k≤m的所有k分別有多少種分組方法。

　　答案對998244353取模。

　　n≤109,m<219

題解

　　因為k>n的項都是0，所以我們欽定m≤n

　　考慮DP。

　　記fi,j為前i個球分為j組的方案數。

fi,j=fi−1,j+fi−1,j−1+fi−2,j−1
　　直接做是O(nm)的。

　　如果把fi看成一個多項式，即

Fi(x)=∑j≥0fi,jxj
　　那麼轉移就變成了
Fi(x)=(1+x)Fi−1(x

)+xFi−2(x)
　　這是一個常係數齊次線性遞推，用FFT優化可以做到O(mlogmlogn)

　　考慮怎麼求一個常係數齊次線性遞推關係的通項公式。

　　先求出這個轉移矩陣的特徵多項式：

λ2−(1+x)λ−x
　　特徵值為
λ1λ2=1+x+x2+6x+1‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√2=1+x−x2+6x+1‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√2
　　我們欽定F−1(x)=0，設
Fi(x)=c1λ1i+1+c2λ2i+1
　　帶入F−1(x),F0(x)得
{c1c2λ1+c2+c2λ2=0=1
　　解得
{c1c2=1λ1−λ2=1λ2−λ1
　　於是
Fi(x)

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