FZU 1759-Super A^B mod C (尤拉函式+降冪公式)
阿新 • • 發佈:2018-12-24
尤拉函式是指:對於一個正整數n,小於n且和n互質的正整數(包括1)的個數,記作φ(n) 。
通式:φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn為x的所有質因數,x是不為0的整數。φ(1)=1(唯一和1互質的數就是1本身)。
對於質數p,φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.
尤拉定理:對於互質的正整數a和n,有aφ(n) ≡ 1 mod n。
尤拉函式是積性函式——
若m,n互質,φ(mn)=φ(m)φ(n)。
若n是質數p的k次冪,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因為除了p的倍數外,
特殊性質:當n為奇數時,φ(2n)=φ(n)
尤拉函式還有這樣的性質:
設a為N的質因數,若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 則有E(N)=E(N / a) * a;若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 則有:E(N) = E(N / a) * (a - 1)。
求尤拉函式的具體程式碼:尤拉函式知道後,呢就直接上降冪公式了,該公式的證明就不在說了,挺難的。 直接上公式吧,畢竟還是很好記的。。。。 降冪公式: (降冪公式中 phi() 為尤拉函式)ll ol(ll x) { ll i,res=x; for(i=2;i*i<=x;i++) { if(x%i==0) { res=res-res/i; while(x%i==0) x/=i; } } if(x>1) res=res-res/x; return res; }
#include<map> #include<stack> #include<queue> #include<vector> #include<math.h> #include<stdio.h> #include<iostream> #include<string.h> #include<stdlib.h> #include<algorithm> using namespace std; typedef __int64 ll; #define inf 1000000000 #define mod 1000000007 #define maxn 1000006 #define lowbit(x) (x&-x) #define eps 1e-10 char s[maxn]; ll ol(ll x) { ll i,res=x; for(i=2;i*i<=x;i++) { if(x%i==0) { res=res-res/i; while(x%i==0) x/=i; } } if(x>1) res=res-res/x; return res; } ll q(ll x,ll y,ll MOD) { ll res=1; while(y) { if(y%2) res=res*x%MOD; x=x*x%MOD; y/=2; } return res; } int main(void) { ll a,c,i,ans,tmp,b; while(scanf("%I64d%s%I64d",&a,s,&c)!=EOF) { ans=0;b=0;tmp=ol(c); ll len=strlen(s); for(i=0;i<len;i++) b=(b*10+s[i]-'0')%tmp; b+=tmp; ans=q(a,b,c); printf("%I64d\n",ans); } return 0; }