寫在前面:搞了SQL Server時間也不短了，對B樹的概念也算是比較瞭解。去網上搜也搜不到用C#或java實現的B樹，乾脆自己寫一個。實現B樹的過程中也對很多細節有了更深的瞭解。

簡介

    B樹是一種為輔助儲存設計的一種資料結構，在1970年由R.Bayer和E.mccreight提出。在檔案系統和資料庫中為了減少IO操作大量被應用。遺憾的是，他們並沒有說明為什麼取名為B樹，但按照B樹的性質來說B通常被解釋為Balance。在國內通常有說是B-樹，其實並不存在B-樹，只是由英文B-Tree直譯成了B-樹。

    一個典型的 B樹如圖1所示。

    圖1.一個典型的B樹

    符合如下特徵的樹才可以稱為B樹：

•     根節點如果不是葉節點，則至少需要兩顆子樹
•     每個節點中有N個元素，和N+1個指標。每個節點中的元素不得小於最大節點容量的1/2
•     所有的葉子位於同一層級（這也是為什麼叫平衡樹）
•     父節點元素向左的指標必須小於節點元素，向右的指標必須大於節點元素，比如圖1中Q的左指標必須小於Q，右指標必須大於Q

為什麼要使用B樹

    在計算機系統中，儲存裝置一般分為兩種，一種為主存（比如說CPU二級快取，記憶體等），主存一般由矽製成，速度非常快，但每一個位元組的成本往往高於輔助儲存裝置很多。還有一類是輔助儲存(比如硬碟，磁碟等),這種裝置通常容量會很大，成本也會低很多，但是存取速度非常的慢，下面我們來看一下最常見的輔存--硬碟。

    硬碟作為主機中除了唯一的一個機械儲存裝置，速度遠遠落後於CPU和記憶體。圖2是一個典型的磁碟驅動器。

    圖2.典型的磁碟驅動器工作原理

    一個驅動器包含若干碟片，以一定的速度繞著主軸旋轉（比如PC常見的轉速是7200RPM,伺服器級別的有10000RPM和15000RPM的）,每個碟片表面覆蓋一個可磁化的物質.每個碟片利用搖臂末端的磁頭進行讀寫。搖臂是物理連線在一起的，通過移動遠離或貼近主軸。

    因為有機械移動的部分，所以磁碟的速度相比記憶體而言是非常的慢。這個機械移動包括兩個部分：盤旋轉和磁臂移動。僅僅對於盤旋轉來說，比如常見的7200RPM的硬碟，轉一圈需要60/7200≈8.33ms,換句話說，讓磁碟完整的旋轉一圈找到所需要的資料需要8.33ms,這比記憶體常見的100ns慢100000倍左右，這還不包括移動搖臂的時間。

    因為機械移動如此的花時間，磁碟會每次讀取多個數據項。一般來說最小單位為簇。而對於SQL Server來說，則為一頁（8K）。

    但由於要查詢的資料往往很大，不能全部裝入主存。需要磁碟來輔助儲存。而讀取磁碟則是佔處理時間最重要的一部分，所以如果我們儘可能的減少對磁碟的IO操作，則會大大加快速度。這也是B樹設計的初衷。

    B樹通過將根節點放入主存，其它所有節點放入輔存來大大減少對於輔存IO的操作。比如圖1中，我如果想查詢元素Y，僅僅需要從主存中取得根節點，再根據根節點的右指標做一次IO讀，再根據這個節點最右的指標做一次IO讀，就可以找到元素Y。相比其他資料結構，僅僅做兩次輔存IO讀大大減少了查詢的時間。

B樹的高度

    根據上面的例子我們可以看出，對於輔存做IO讀的次數取決於B樹的高度。而B樹的高度由什麼決定的呢？

     根據B樹的高度公式:   

      其中T為度數（每個節點包含的元素個數），N為總元素個數.

     我們可以看出T對於樹的高度有決定性的影響。因此如果每個節點包含更多的元素個數，在元素個數相同的情況下，則更有可能減少B樹的高度。這也是為什麼SQL Server中需要儘量以窄鍵建立聚集索引。因為SQL Server中每個節點的大小為8092位元組，如果減少鍵的大小，則可以容納更多的元素，從而減少了B樹的高度，提升了查詢的效能。

    上面B樹高度的公式也可以進行推導得出，將每一層級的的元素個數加起來，比如度為T的節點，根為1個節點，第二層至少為2個節點，第三層至少為2t個節點，第四層至少為2t*t個節點。將所有最小節點相加，從而得到節點個數N的公式:

    兩邊取對數，則可以得到樹的高度公式。

    這也是為什麼開篇所說每個節點必須至少有兩個子元素，因為根據高度公式，如果每個節點只有一個元素，也就是T=1的話，那麼高度將會趨於正無窮。

B樹的實現

    講了這麼多概念，該到實現B樹的時候了。

    首先需要定義B樹的節點，如程式碼1所示。

        public class TreeNode<T>where T:IComparable<T>
        {
            public int elementNum = 0;//元素個數
            public IList<T> Elements = new List<T>();//元素集合,存在elementNum個
            public IList<TreeNode<T>> Pointer = new List<TreeNode<T>>();//元素指標，存在elementNum+1
            public bool IsLeaf = true;//是否為葉子節點
            
        }

   程式碼1.宣告節點

    我給每個節點四個屬性，分別為節點包含的元素個數，節點的元素陣列，節點的指標陣列和節點是否為葉子節點。我這裡對節點儲存的元素型別使用了泛型T，並且必須實現ICompable介面使得節點所儲存的元素可以互相比較。

    有了節點的定義後，就可以建立B樹了，如程式碼2所示。

            //建立一個b樹,也是類的建構函式
            public BTree()
            {

                RootNode = new TreeNode<T>();
                RootNode.elementNum = 0;
                RootNode.IsLeaf = true;
                //將節點寫入磁碟，做一次IO寫
            }

   程式碼2.初始化B樹
   

    這是BTree類的建構函式，初始化一個根節點。全部程式碼我稍後給出。

    下面則要考慮B樹的插入，其實B樹的構建過程也是向B樹插入元素的過程.B樹的插入相對來說比較複雜，需要考慮很多因素。

    首先，每一個節點可容納的元素個數是一樣並且有限的，這裡我聲明瞭一個常量最為每個節點,如程式碼3所示。

const int NumPerNode = 4;

    對於B樹來說，節點增加的唯一方式就是節點分裂，這個概念和SQL SERVER中的頁分裂是一樣的。

    頁分裂的過程首先需要生成新頁，然後將大概一半的元素移動到新頁中，然後將中間元素提升到父節點。比如我想在現有的元素中插入8，造成已滿的頁進行分裂，如圖3所示:

    圖3.向已經滿的葉子節點插入元素會造成頁分裂

    通過葉子分裂的概念不難看出，葉子節點分裂才會造成非葉子節點元素的增加。最終傳遞到根元素。而根元素的分裂是樹長高的唯一途徑。

    在C#中的實現程式碼如程式碼4所示。

           //B樹中的節點分裂
            public void BTreeSplitNode(TreeNode<T> FatherNode, int position, TreeNode<T> NodeToBeSplit)
            {
                TreeNode<T> newNode = new TreeNode<T>();//建立新節點，容納分裂後被移動的元素
                newNode.IsLeaf = NodeToBeSplit.IsLeaf;//新節點的層級和原節點位於同一層
                newNode.elementNum = NumPerNode - (NumPerNode / 2 + 1);//新節點元素的個數大約為分裂節點的一半
                for (int i = 1; i < NumPerNode - (NumPerNode / 2 + 1); i++)
                {
                    //將原頁中後半部分複製到新頁中
                    newNode.Elements[i - 1] = NodeToBeSplit.Elements[i + NumPerNode / 2];
                }
                if (!NodeToBeSplit.IsLeaf)//如果不是葉子節點，將指標也複製過去
                {
                    for (int j = 1; j < NumPerNode / 2 + 1; j++)
                    {
                        newNode.Pointer[j - 1] = NodeToBeSplit.Pointer[NumPerNode / 2];
                    }
                }
                NodeToBeSplit.elementNum = NumPerNode / 2;//原節點剩餘元素個數

                //將父節點指向子節點的指標向後推一位
                for (int k = FatherNode.elementNum + 1; k > position + 1; k--)
                {
                    FatherNode.Pointer[k] = FatherNode.Pointer[k - 1];
                }
                //將父節點的元素向後推一位
                for (int k = FatherNode.elementNum; k > position + 1; k--)
                {
                    FatherNode.Elements[k] = FatherNode.Elements[k - 1];
                }
                //將被分裂的頁的中間節點插入父節點
                FatherNode.Elements[position - 1] = NodeToBeSplit.Elements[NumPerNode / 2];
                //父節點元素大小+1
                FatherNode.elementNum += 1;
                //將FatherNode,NodeToBeSplit,newNode寫回磁碟,三次IO寫操作

            }

   程式碼4.分裂節點

    通過概念和程式碼不難看出，節點的分裂相對比較消耗IO，這也是為什麼SQL Server中需要一些最佳實現比如不用GUID做聚集索引，或是設定填充因子等來減少頁分裂。

    而如果需要插入元素的節點不滿，則不需要頁分裂，則需要從根開始查詢，找到需要被插入的節點，如程式碼5所示。

            //在節點非滿時尋找插入節點
            public void BTreeInsertNotFull(TreeNode<T> Node, T KeyWord)
            {
                int i=Node.elementNum;
                //如果是葉子節點，則尋找合適的位置直接插入
                if (Node.IsLeaf)
                {
                    
                    while (i >= 1 && KeyWord.CompareTo(Node.Elements[i - 1]) < 0)
                    {
                        Node.Elements[i] = Node.Elements[i - 1];//所有的元素後推一位
                        i -= 1;
                    }
                    Node.Elements[i - 1] = KeyWord;//將關鍵字插入節點
                    Node.elementNum += 1;
                    //將節點寫入磁碟，IO寫+1
                }
                //如果是非葉子節點
                else
                {
                    while (i >= 1 && KeyWord.CompareTo(Node.Elements[i - 1]) < 0)
                    {
                        i -= 1;
                    }
                    //這步將指標所指向的節點讀入記憶體,IO讀+1
                    if (Node.Pointer[i].elementNum == NumPerNode)
                    {
                        //如果子節點已滿，進行節點分裂
                        BTreeSplitNode(Node, i, Node.Pointer[i]);
 
                    }
                    if (KeyWord.CompareTo(Node.Elements[i - 1]) > 0)
                    {
                        //根據關鍵字的值決定插入分裂後的左孩子還是右孩子
                        i += 1;
                    }
                    //迭代找葉子，找到葉子節點後插入
                    BTreeInsertNotFull(Node.Pointer[i], KeyWord);
                     

                }
            }

    程式碼5.插入

    通過程式碼5可以看出，我們沒有進行任何迭代。而是從根節點開始遇到滿的節點直接進行分裂。從而減少了效能損失。

    再將根節點分裂的特殊情況考慮進去，我們從而將插入操作合為一個函式，如程式碼6所示。

            public void BtreeInsert(T KeyWord)
            {
                if (RootNode.elementNum == NumPerNode)
                {

                    //如果根節點滿了，則對跟節點進行分裂
                    TreeNode<T> newRoot = new TreeNode<T>();
                    newRoot.elementNum = 0;
                    newRoot.IsLeaf = false;
                    //將newRoot節點變為根節點
                    BTreeSplitNode(newRoot, 1, RootNode);
                    //分裂後插入新根的樹
                    BTreeInsertNotFull(newRoot, KeyWord);
                    //將樹的根進行變換
                    RootNode = newRoot;
                }
                else
                {
                    //如果根節點沒有滿，直接插入
                    BTreeInsertNotFull(RootNode, KeyWord);
                }
            }

   程式碼6.插入操作

   現在，我們就可以通過插入操作，來實現一個B樹了。

B樹的查詢

    既然B樹生成好了，我們就可以對B樹進行查找了。B樹的查詢實現相對簡單，僅僅是從跟節點進行迭代，如果找到元素則返回節點和位置，如果找不到則返回NULL.

            //從B樹中搜索節點，存在則返回節點和元素在節點的值，否則返回NULL
            public returnValue<T> BTreeSearch(TreeNode<T> rootNode, T keyword)
            {
                int i = 1;
                
                while (i <= rootNode.elementNum && keyword.CompareTo(rootNode.Elements[i - 1])>0)
                {
                    i = i + 1;
                }
                if (i <= rootNode.elementNum && keyword.CompareTo(rootNode.Elements[i - 1]) == 0)
                {
                    returnValue<T> r = new returnValue<T>();
                    r.node = rootNode.Pointer[i];
                    r.position = i;
                    return r;
                }
                if (rootNode.IsLeaf)
                {
                    return null;
                }
                else
                {
                    //從磁碟將內容讀出來,做一次IO讀
                    return BTreeSearch(rootNode.Pointer[i], keyword);
                }
            }

 程式碼7.對B樹進行查詢

  順帶說一下，returnValue類僅僅是對返回值的一個封裝，程式碼如程式碼8所示。

        public class returnValue<T> where T : IComparable<T>
        {
            public TreeNode<T> node;
            public int position;
        }

   程式碼8.returnValue的程式碼

總結

    本文從B樹的概念原理，以及為什麼需要B樹到B樹的實現來闡述B樹的概念。B樹是一種非常優雅的資料結構。是關係資料庫和檔案系統的核心演算法。對於B樹的瞭解會使得你對於資料庫的學習更加系統和容易。