用淺顯的話說分治演算法就是將一件大事拆成小事來處理：比如我要去2元店花光100塊錢，而且必須每樣東西是自己想要的。這時候就會一頭霧水了，因為要買的東西太多，但是又不能一次性挑個50樣。這時候我們只需要這樣想，當我只有2塊錢的時候，我們就可以挑一個自己最喜歡的，如果這時多了2塊錢，那麼我們又可以挑一個自己最喜歡的。如此迴圈，當我們的錢增加到100塊的時候，我們再挑一樣就完成了要求。

                                                                                                                                                                                       ------導讀

分治演算法：

　　一、基本概念

　　在電腦科學中，分治法是一種很重要的演算法。字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個複雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最後子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合併。這個技巧是很多高效演算法的基礎，如排序演算法(快速排序，歸併排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換)……

　　任何一個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關。問題的規模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對於n個元素的排序問題，當n=1時，不需任何計算。n=2時，只要作一次比較即可排好序。n=3時只要作3次比較即可，…。而當n較大時，問題就不那麼容易處理了。要想直接解

　二、基本思想及策略

　　分治法的設計思想是：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。

　　分治策略是：對於一個規模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規模n較小）則直接解決，否則將其分解為k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞迴地解這些子問題，然後將各子問題的解合併得到原問題的解。這種演算法設計策略叫做分治法。

　　如果原問題可分割成k個子問題，1<k≤n，且這些子問題都可解並可利用這些子問題的解求出原問題的解，那麼這種分治法就是可行的。由分治法產生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞迴技術提供了方便。在這種情況下，反覆應用分治手段，可以使子問題與原問題型別一致而其規模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導致遞迴過程的產生。分治與遞迴像一對孿生兄弟，經常同時應用在演算法設計之中，並由此產生許多高效演算法。

決一個規模較大的問題，有時是相當困難的。
 

三、分治法使用場景

　　分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特徵：

　　1) 該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決

　　2) 該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質。

　　3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合併為該問題的解；

　　4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。

　　第一條特徵是絕大多數問題都可以滿足的，因為問題的計算複雜性一般是隨著問題規模的增加而增加；

　　第二條特徵是應用分治法的前提它也是大多數問題可以滿足的，此特徵反映了遞迴思想的應用；、

　　第三條特徵是關鍵，能否利用分治法完全取決於問題是否具有第三條特徵，如果具備了第一條和第二條特徵，而不具備第三條特徵，則可以考慮用貪心法或動態規劃法。

　　第四條特徵涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作，重複地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態規劃法較好。

四、分治法得基本步驟

　　分治法在每一層遞迴上都有三個步驟：

　　step1 分解：將原問題分解為若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；

　　step2 解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞迴地解各個子問題

　　step3 合併：將各個子問題的解合併為原問題的解。

　　它的一般的演算法設計模式如下：

　　Divide-and-Conquer(P)

　　1. if |P|≤n0

　　2. then return(ADHOC(P))

　　3. 將P分解為較小的子問題 P1 ,P2 ,…,Pk

　　4. for i←1 to k

　　5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞迴解決Pi

　　6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合併子問題

　　7. return(T)

　　其中|P|表示問題P的規模；n0為一閾值，表示當問題P的規模不超過n0時，問題已容易直接解出，不必再繼續分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子演算法，用於直接解小規模的問題P。因此，當P的規模不超過n0時直接用演算法ADHOC(P)求解。演算法MERGE(y1,y2,…,yk)是該分治法中的合併子演算法，用於將P的子問題P1 ,P2 ,…,Pk的相應的解y1,y2,…,yk合併為P的解。

五、分治法的複雜性分析

　　一個分治法將規模為n的問題分成k個規模為n／m的子問題去解。設分解閥值n0=1，且adhoc解規模為1的問題耗費1個單位時間。再設將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合併為原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規模為|P|=n的問題所需的計算時間，則有：

　　T（n）= k T(n/m)+f(n)

　　通過迭代法求得方程的解：

　　遞迴方程及其解只給出n等於m的方冪時T(n)的值，但是如果認為T(n)足夠平滑，那麼由n等於m的方冪時T(n)的值可以估計T(n)的增長速度。通常假定T(n)是單調上升的，從而當mi≤n<mi+1時，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

六、可使用分治法求解的一些經典問題

　　（1）二分搜尋

　　（2）大整數乘法

　　（3）Strassen矩陣乘法

　　（4）棋盤覆蓋

　　（5）合併排序

　　（6）快速排序

　　（7）線性時間選擇

　　（8）最接近點對問題

　　（9）迴圈賽日程表

　　（10）漢諾塔

七、一些經典問題求解程式碼實現

　　1）二分搜尋

　　　　二分搜尋又叫做二分查詢、折半查詢，它是一種效率較高得查詢方法。

　　　　二分搜尋得要求：

　　　　線性表為有序表，並且要用向量作為表得儲存結構。

　　　　二分搜尋得基本思想：先確定待查詢記錄所在的範圍，然後逐步縮小範圍直至找到或找不到該記錄位置。

　　　　二分查詢步驟：

　　　　1、先確定中間位置：

　　　　middle = (left+right)/2;

　　　　2、將待查詢得key值與data[middle].key值相比較。若相等，則查詢成功並返回該位置，否則須確定新得查詢區間，繼續二分查詢，具體方法如下：

1. 1. 　　如果data[middle].key大於key，由於data為有序線性表，可知data[middle...right].key均大於key，因此若表中存在關鍵字等於key得節點，則一定在位置middle左邊的子表中。
   2.       反之，　data[middle].key小於key，　因此若表中存在關鍵字等於key得節點，則一定在位置middle右邊的子表中。下一次查詢針對新得區域進行查詢。
   3.  java程式碼實現：

2.  public static void main(String[] args) {
    2         int[] a = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
    3         int pos =bSearch(a, 0, a.length-1, 1);
    4         System.out.println(pos);
    5     }
    6     
    7     
    8     public static int bSearch(int[] data,int left,int right,int key){
    9         //獲取中間位置
   10         int middle = (left+right)/2;
   11         //比較key值如相等，返回當前位置，否則確認新的查詢空間
   12         if(data[middle] == key){
   13             return middle;
   14         }else if(data[middle] >key){
   15             return bSearch(data, left, middle-1, key);
   16         }else{
   17             return bSearch(data, middle+1, right, key);
   18         }
   19     }

   2）漢諾塔　

   　　　　在漢諾塔遊戲中，有三個分別命名為A、B、C得塔座，幾個大小各不相同，從小到大一次編號得圓盤，每個原盤中間有一個小孔。最初，所有得圓盤都在A塔座上，其中最大得圓盤在最下面，然後是第二大，以此類推.

遊戲的目的是將所有的圓盤從塔座A移動到塔座B;塔座C用來防止臨時圓盤,遊戲的規則如下:

　　　　1、一次只能移動一個圓盤

　　　　2、任何時候都不能將一個較大的圓盤壓在較小的圓盤上面.

　　　　3、除了第二條限制,任何塔座的最上面的圓盤都可以移動到其他塔座上.

　　漢諾塔問題解決思想:

　　　　在解決漢諾塔問題時,事實上,我們不是罪關心圓盤1開始應該挪到哪個塔座上,而是關心最下面的圓盤4.當然,我們不能直接移動圓盤4,但是圓盤4最終將從塔座A移動到塔座B.按照遊戲規則,在移動圓盤4之前的情況一定如下圖

　　 我們仍將分析,如何將前三個圓盤從A移動到C,然後圓盤4從A移動到B,前三個圓盤從C再移動到B.

　　但是上面的步驟可以重複利用!例如將三個圓盤從A移動到C,那麼應該先將前兩個圓盤從A移動到B,然後將圓盤3從A移動到C,最後將前兩個圓盤從B移動到C.

　　持續簡化這個問題,最終我們將只需要處理一個圓盤從一個塔座移動到另一個塔座的問題.

public class Moved {
 2     private static int count = 1;
 3     public static void main(String[] args) {
 4         moved(4, "第一根柱子", "第二根柱子", "第三根柱子");
 5     }
 6     
 7     /**
 8      * 
 9      * @param i  圓盤數量
10      * @param a  圓盤初始所在塔座
11      * @param b  圓盤將要移動到的塔座
12      * @param c     輔助圓盤移動的塔座
13      */
14     public static void moved(int i,String a,String b,String c){
15         if(i == 1){
16             disPaly(1, a, b);
17         }else{
18             //將i-1根圓盤由A移動到C
19             moved(i-1, a, c, b);
20             //將圓盤i 由A移動到B
21             disPaly(i, a, b);
22             //將i-1根圓盤由C移動到A
23             moved(i-1,c,b,a);
24         }
25     }
26     
27     public static void disPaly(int i,String a,String b){
28         System.out.println("第"+count+"步：移動第"+i+"個塔從"+a+"到"+b);
29         count++;
30     }
31 }

 1 第1步：移動第1個塔從第一根柱子到第三根柱子
 2 第2步：移動第2個塔從第一根柱子到第二根柱子
 3 第3步：移動第1個塔從第三根柱子到第二根柱子
 4 第4步：移動第3個塔從第一根柱子到第三根柱子
 5 第5步：移動第1個塔從第二根柱子到第一根柱子
 6 第6步：移動第2個塔從第二根柱子到第三根柱子
 7 第7步：移動第1個塔從第一根柱子到第三根柱子
 8 第8步：移動第4個塔從第一根柱子到第二根柱子
 9 第9步：移動第1個塔從第三根柱子到第二根柱子
10 第10步：移動第2個塔從第三根柱子到第一根柱子
11 第11步：移動第1個塔從第二根柱子到第一根柱子
12 第12步：移動第3個塔從第三根柱子到第二根柱子
13 第13步：移動第1個塔從第一根柱子到第三根柱子
14 第14步：移動第2個塔從第一根柱子到第二根柱子
15 第15步：移動第1個塔從第三根柱子到第二根柱子