問題描述：

n個人（編號1~n)，從1開始報數，報到m的退出，剩下的人繼續從1開始報數。按順序輸出列者編號。

1.演算法複雜度為o(n*m)

使用連結串列進行模擬整個遊戲過程

2.演算法複雜度為o(n)

將n個人按照從0~n進行編號，出列的第一個人編號是m%n-1，將剩下的n-1個人組成一個新的約瑟夫環（從編號為k=m%n的人重新編號）:

   k   k+1   k+2   ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
現在我們把他們的編號做一下轉換：
k     --> 0
k+1 --> 1
...
...
k-1 --> n-1

變換後就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n


如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：


令f[i]表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]


遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;   (i>1)


有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最後結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1


由於是逐級遞推，不需要儲存每個f[i]，程式也是異常簡單： 

#include <stdio.h>
int main()
{
   int n, m, i, s=0;
   printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
   for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
   printf ("The winner is %d\n", s+1);
}

3.演算法複雜度為O(m)(m<<n)

事實上，如果我們觀察上述演算法中的變數s，他的初始值為第一個出圈人的編號，但在迴圈的過程中，我們會發現它常常處在一種等差遞增的狀態，我來看這個式 子：s=(s+m)%i;，可以看出，當i比較大而s+m-1比較小的時候，s就處於一種等差遞增的狀態，這個等差遞增的過程並不是必須的，可以跳過。

我們設一中間變數x，列出如下等式：
s+m*x–1=i+x

解出x，令s=s+m*x，將i+x直接賦值給 i，這樣就跳過了中間共x重的迴圈，從而節省了等差遞增的時間開銷。可是其中求出來的x＋i可能會超過n，這樣的結果事實上已經告訴我們此時可以直接結束演算法了。

整個演算法的C語言描述如下：

long Josephus(long n,long m,long k) //分別為：人數，出圈步長，起使報數位置,
{
    if (m == 1)k = k == 1 ? n : (k + n - 1) % n;
    else
    {
        for (long i = 1; i <= n; i++)
        {
            if ((k + m) < i)
            {
                x = (i - k + 1) / (m - 1) - 1;
                if (i + x < n)
                {
                    i = i + x;
                    k = (k + m * x);
                }
                else
                {
                    k = k + m * (n - i) ;
                    i = n;
                }
            }
            k = (k + m - 1) % i + 1;
        }
    }
    return k; //返回最後一人的位置
}
 

該演算法的演算法複雜度在m<n時已經與一個圈中的人數n沒有關係了，即使在n=2000000000，m=3，s=1的情況下，也只做了54次迴圈，事 實上，大多數的情況都是m<n，且m相對來說很小，此時，這個演算法的複雜度僅為O(m)；但當m>=n時，用方程求出的值不能減少迴圈重數，演算法複雜度仍為O(n)。

相關連結：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/21/2024377.html