題目描述

$N^2-3N+2={\sum }_{}$

題目分析

杜教篩其實就是用狄利克雷卷積優化
把 $n^2-3n+2$ 看作 $g(n)$
那麼可看出 $f*I=g$
倘若用於卷積的其中一個函式(此處的 $I$)和卷積後的函式(此處的 $g$)很好求字首和，那麼就可以優化求卷積中的另一個函式的字首和
$\sum_{i=1}^ng(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)*I({i\over d})\\~~~~~~~~~~~=\sum_{i=1}^n\sum_{d=1}^{\lfloor{n\over i}\rfloor}f(d)*I(i)$
上式第二行中的 $i$實際上是在列舉第一行中 $i$是 $d$的幾倍
這樣就使得 $d$連續，便於分塊優化，記 $\sum_{i=1}^nf(i)=F(n)$
$\sum_{i=1}^ng(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d=1}^{\lfloor{n\over i}\rfloor}f(d)*I(i)\\~~~~~~~~~~~=\sum_{i=1}^nF(\lfloor{n\over i}\rfloor)*I(i)$
把 $i=1$移到左邊，g移到右邊，得到
$F(n)*I(1)=F(n)\\=\sum_{i=1}^ng(i) ~-\sum_{i=2}^nF(\lfloor{n\over i}\rfloor)*I(i)$
g(i)可以O(1)求，F用分塊優化， $O(n^{3\over 4})$

但是還是會TLE，需要線性篩出 $n\le10^6$的F，時間複雜度可以降到 $O(n^{2\over 3})$

$f*I=g\\ f*(I*\mu)=g*\mu\\ f*e=g*\mu$<