18.6 Describe an algorithm to find the smallest one million numbers in one billion numbers. Assume that the computer memory can hold all one billion numbers.

這道題讓我們在十億個數字中找到最小的一百萬個數字，而且限定了計算機只有能存十億個數字的記憶體。這題有三種解法，排序，最小堆，和選擇排序。

首先來看排序方法，這種方法簡單明瞭，就是把這十億個數字按升序排列，然後返回前一百萬個即可，時間複雜度是O(nlgn)。

然後來看最小堆做法，我們建立一個最大堆(大的數字在頂端)，然後將前一百萬個數字加進去。然後我們開始遍歷剩下的數字，對於每一個數字，我們將其加入堆中，然後刪掉堆中最大的數字。遍歷接受後，我們就有了一百萬個最小的數字，時間複雜度是O(nlgm)，其中m是我們需要找的數字個數。

最後我們來看選擇排序的方法，這種方法可以線上性時間內找到第i個最大或最小的數，如果數字都不是不同的，那麼我們可以在O(n)的時間內找到第i個最小的數字，演算法如下：

1. 隨機選取陣列中的一個數字當做pivot，然後以此來分割陣列，記錄分割處左邊的數字的個數。

2. 如果左邊正好有i個數字，那麼返回左邊最大的數字。

3. 如果左邊數字個數大於i，那麼繼續在左邊遞迴呼叫這個方法。

4. 如果左邊數字個數小於i，那麼在右邊遞迴呼叫這個方法，但是此時的rank變為i - left_size。

參見程式碼如下：

int partition(vector<int> &array, int
 
 left, int right, int pivot) {
    while (true) {
        while (left <= right && array[left] <= pivot) ++left;
        while (left <= right && array[right] > pivot) --right;
        if (left >right) return left - 1;
        swap(array[left], array[right]);
    }
}

 
int find_max(vector<int> &array, int left, int right) {
    int res = INT_MIN;
    for (int i = left; i <= right; ++i) {
        res = max(res, array[i]);
    }
    return res;
}

int selection_rank(vector<int> &array, int left, int right, int rank) {
    int pivot = array[rand() % (right - left + 1) + left];
    int left_end = partition(array, left, right, pivot);
    int left_size = left_end - left + 1;
    if (left_size == rank + 1) return find_max(array, left, left_end);
    else if (rank < left_size) return selection_rank(array, left, left_end, rank);
    else return selection_rank(array, left_end + 1, right, rank - left_size);
}

一旦找到了第i個最小的數字後，就可以遍歷整個陣列來找所有小於等於該數字的元素。當陣列有重複元素的話，需要修改一些地方，但是時間就不能保證是線性的了。其實也有演算法能線性時間內處理有重複的陣列，但是比較複雜，有興趣的請自行搜尋研究。