在講這個函式之前。最好先了解尤拉函式。

我們用 \ 記為整除。 記得小學的時候整除和整除以的概念麼？別混淆。 2整除4 記作 2\4。

尤拉函式用來表示。
那麼根據法裡級數的展開(這個感覺和ACM關係不大就先不介紹了。大概講的就是構造所有最簡分數的一種樹。而法裡級數n定義分母<=n的最簡分數。)

比如對於分母為12.

化簡後:

分別為:

1/12 1/6 1/4 1/3 5/12 1/2 7/12 2/3 3/4 5/6 11/12 1/1

觀察這些式子。你會發現分母都是能整除12的.也就是說分母為d。 d\m

分母為1的集合 1/1

分母為2的集合 1/2

分母為3的集合 1/3 2/3

分母為4的集合 1/4 3/4

分母為6的集合 1/6 5/6

分母為12的集合 1/12 5/12 7/12 11/12

會發現對於每個m的除數(也就是分母啦)的集合的分子都是和分母是互素的。並且窮舉了。

比如4 1 和 3 是和4互素的。

那麼

1+1+2+2+2+4 = 12 (其實這裡是廢話！在推導中間就能得到了。因為我們列了12個分式嘛，重點在於是窮舉了每個除數的互素數。)
不過我們可以從這得到一個和式:

重點在於這個形式的公式：

有一個結論:如果f(d) 讓g(m)是積性函式。那麼f(d) 是積性函式（這個結論很重要。）

同時如果我們能夠證明這個結論的話。也可以通過這個結論去證明尤拉函式的積性。

因為根據上面我們推出的和式。對於尤拉函式的對應g(m)為m.m明顯是積性的函式。

如果我們的結論成立。那麼尤拉函式是積性的。(這裡的積性不代表完全積性。我們知道尤拉函式的積性必須兩個數互素的情況下才有。)

證明：
因為g(m)為積性函式，所以有：

擴充套件左邊：

擴充套件右邊:

即可得:

如果進一步細分左邊和右邊。會發現左邊是

若該等式對於任意m恆成立.那麼

根據上面的等式的話就是一個項一個項對應起來。而從這也能看出其逆命題也是正確的。就是當f(d) 為積性函式的時候 g(m)也為積性函式。

在此，尤拉函式的積性就算證明成功了。

對於上述的研究似乎沒有提到莫比烏斯函式。但是以上的研究是貫徹整個莫比烏斯函式的。包括其積性的證明。和反演。

思考一個這樣的問題：
對比

尤拉函式是比較複雜的。而其對應的g(m) 是簡單的。為m。

　　我們是否可以通過g(m)的函式能夠獲得f(m)的函式呢?(這裡f(m)自變數變成m了。不過小小思考後明顯不用在意。)

　　而我們有這樣的一個反演原理：
　　
　其中為莫比烏斯函式。

　　莫比烏斯函式滿足一個極其重要的性質。或者說是因為這個性質而定義了這個函式！　

其中 [m=1]代表m=1的時候為1. m不等於1的時候為0

　　這個性質很神奇。但是卻又不神奇。因為其實是認為構造出有這樣的性質。使得莫比烏斯反演得以成立。

　　但是我們要計算其反演後的結果。我們又不得不知道具體的的值如何。其值我們先放著。先證明反演：

　　證明反演之前有兩個步驟最好先需要有預備知識：

第一個：

　　

　　這個其實思考一下就知道了。我們不過就是把計算順序發生了改變。

第二個：

　這個和式確實看起來複雜。而且我是直接搬其證明過程中遇到的這個和式。

不過我們從一個例子上去理解:

對於m=12來說：　　　　　　　　　　　 　　

明顯的求這個式子之和。

我們的排列是以μ的自變數排列的。那假如按f的自變數(k)進行排列呢? 我們上面的式子豎著都已經對應好了。

不難得出下表:(不根據式子。直接跟上)　　　　　　

細心對比上表：

會發現有意思的是m/d和k換了個位置而已。其實這並不是巧合。但是這並不是重點。

我們要用一個式子描述出這種情形。其實我們不過是把式子處理成以k為規整的。

而描述成和式其實就是上述恆等式的右邊：

值得注意的是 d 已經不是原來的d了。只是一個從1開始的迴圈量而已。一旦滿足d(m/k) 就有意義。所以我本來第2個表不想統計d的。不過最後還是統計了。出於容易研究吧。

因為我們還得一點細節才能解釋這個恆等式右邊的表示式。

我們有:

k\d

d\m

所以對於指定的k,d的集合為k的倍數。

設l = m/d. (這裡的l就是上述表示式的d!)

也就是我們要證明指定k 那麼l的集合為 l(m/k)

l = m/nk. n為整數。 (m/k) / l = n 所以l(m/k).得證。

也許我的證明有點繁瑣。如果你一眼看出來。那也沒事。

其實就是尋找指定k m/d應該滿足怎麼樣的條件。 其中k\d且d\m。

有了這2個恆等式我們可以接下來證明莫比烏斯反演:

證明過程

PS:

其反證類似的。具體數學中的習題啊。也當作大家的習題好了。

就是第二個恆等式。具體數學中是分了2步。那個用拉斐爾證明的4.9雖然說原理並不難。但是具體數學上用得簡直有點出神入化讓我有點摸不著頭腦。

之後一步是利用第一個恆等式然後證出上述的第二個恆等式。

讓我們看看 具體是一個什麼樣的函式。

首先:[m=1]這個函式是積性的。所以μ(d)這個函式必然也是積性的。利用我們一開始證明的那個結論。

也就是說要求μ(m).我們只要計算μ(p^k). 根據算術基本定理理所當然的。且p代表素數。

根據其性質:

m = p^k.

那麼有 μ(1)+ μ(p^1) + μ(p^2) + μ(p^3)+…μ(p^k) = [p^k=1].

假如p = 1.(其實1不是素數，我們這樣的假設是不成立的，這裡只是為了運算出μ(1))

那麼。 μ(1)= 1.

假如p ！= 1.

那麼 μ(1)+ μ(p^1) + μ(p^2) + μ(p^3)+…μ(p^k) = 0.

當k=1.

μ(1)+ μ(p^1) = 0

可知μ(p^1)=μ(p)= -1.

當k=2.

μ(1)+ μ(p^1) + μ(p^2) = 0 .

即μ(p^2) = 0

同理。

μ(p^(3~k)) = 0

也就是說。

μ(1) = 1 , μ(p) = -1 , μ(p^k) = 0 (k>=2)

推廣到 m:（m為任意實數）

下面0的情況。是存在p^2整除m.也就是m存在p^2因子的時候。

注意:μ(1) = 1