1. 定義

設 V 為定義在數域 F 上的向量空間，定義 V 上的線性函式是從 V 到 F 的對映：f:V→F，且滿足 ∀x,y∈V,k∈F 有：f(x+y)=f(x)+f(y),f(ka)=kf(a)。

現考慮 V 上所有線性函式（f:V→F）的集合 V⋆。對 ∀f,g∈V⋆,x∈V,k∈F，可以在 V⋆ 定義如下的標量乘法和加法（向量加法）：

• 標量乘法：g(kx)=kg(x)
• 加法：(f+g)(x)=f(x)+g(x)（向量加法，是由定義出來的）

在上述意義下，可以證明 V⋆ 是域 F 上的向量空間，稱為 V 的對偶空間。

最後，更準確的說，對偶空間裡的元素是“線性泛函”（linear functional）

2. 簡單性質

• covector：vectors in the dual space，對偶空間中的向量稱為 covector（協向量）
  α∈V⋆,v∈V⇒α(v)∈R，covector 以 vector 為輸入，以 scalar 為輸出；

• 從基的角度繼續考察對偶空間，如果 V 表示一個有限維空間，則 dimV=dimV⋆

  • 假定 V:{ei}i=1,…,n（由基向量長成的線性空間），V⋆={ei}i=1,…,n，則有如下的定義：
  ei(ej)=δij={1,0,i=jotherwise

  對偶空間中的向量稱為 covector，如性質一所說，covector 接受線性空間中的向量，輸出一個標量；