這是Strang教授的第六講，講解的內容是線性代數裡的倆個最重要向量子空間:列空間和零空間，同時還有上節課剩餘的一點關於向量空間的問題。1.向量空間和子空間;2.列空間;3.零空間。

1.向量空間和子空間

        這裡還有一點關於向量空間和子空間的問題。假設有兩個向量子空間P和L，回答下面兩個問題：1.是向量子空間嗎？2.是向量子空間嗎？下面直接給出問題的答案：

       問題1： 不一定是向量子空間，比如L是三維空間中過原點的直線，P是三維空間中過原點的平面，那麼P和L都是的向量子空間，但卻並不一定：如果L在平面P上，那麼，是向量子空間；但如果L穿過平面P，

        問題2：一定也是向量子空間。

2.列空間

        列空間是十分重要的一個向量子空間。舉例說明列空間是什麼樣的子空間，也引出列空間的定義。e.x.:

        列空間的定義:The column space consists of all combinations of the columns. The combinations are all posible vectors .They fill the column space .

        簡單說，列空間是對矩陣A的，記作,是由A的列向量所有可能線性組合構成的向量空間。既然

        還是回到解線性方程組的問題上，上面的矩陣A是某個線性方程組的係數矩陣。那麼我們提出問題：對於所有的右側向量b，方程組都有解呢？如果不是，那麼什麼樣的b讓方程組有解？

        首先，問題1的答案是否定的，以中學就學過，3個未知數，4個方程的方程組不一定有解。用線性代數的知識解釋就是:3個列向量的線性組合不能充滿整個。那麼什麼樣的b讓方程組有解呢？答案是：

       有解，當且僅當b屬於A的列空間

       這是列空間背後的意義所在，它決定了方程組的解的可能性。

       列空間只是向量空間的一個特殊定義，它和其他向量空間本質上並沒有什麼不同，只是它裡面的向量都是源自某個矩陣的列向量。下面說一下在任意向量空間V中產生子向量空間的方法（視訊中未講）：

       假設S是向量空間V中的一組向量，我們可以得到V的子空間SS，SS =S所有線性組合。

3.零空間

        定義：

        The nullspace of A consists of all solutions to . These vectors x are in .The nullspace containing all solutions of  is denoted by .

        簡單說，矩陣A的零空間就是使得成立的所有解構成的向量子空間。

        對於上面例子中的矩陣A，它的零空間空間由下面的方程組求解：

        求解上面的線性方程組，可得 : ，這裡的零空間是3維空間中過原點的一條直線。

        注意：對於mxn的實數矩陣A，是的向量子空間，空間中的向量和A的行向量大小一樣；而是的向量子空間。

        給出兩個檢驗：

        （1）Ax=0的解構成一個向量子空間.

        （2）Ax=b的解不構成一個向量子空間.

        這兩個檢驗的證明很簡單，檢驗證明在這裡不列出了，以備以後回頭複習時檢驗對知識掌握的牢固程度。

        本節課的內容對應《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》3.1章節的後半部分和3.2章節的前半部分。