理解最大似然估計

阿新 • • 發佈：2018-12-30

在統計學中，最大似然估計，也稱為最大概似估計，是用來估計一個概率模型的引數的一種方法。

預備知識

下邊的討論要求讀者熟悉概率論中的基本定義，如概率分佈、概率密度函式、隨機變數、數學期望等。同時，還要求讀者熟悉連續實函式的基本技巧，比如使用微分來求一個函式的極值（即極大值或極小值）。

最大似然估計的原理

給定一個概率分佈 $D$ ，已知其概率密度函式（連續分佈）或概率質量函式（離散分佈）為 $f_D$ ，以及一個分佈引數 $\theta$ ，我們可以從這個分佈中抽出一個具有 $n$ 個值的取樣 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，利用 $f_D$ 計算出其概率：

\mathbb{P}(x_1,x_2,\dots,x_n) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)

但是，我們可能不知道 $\theta$ 的值，儘管我們知道這些取樣資料來自於分佈 $D$

$D$ 。那麼我們如何才能估計出

\theta

呢？一個自然的想法是從這個分佈中抽出一個具有

n

個值的取樣

X_1, X_2, ..., X_n

，然後用這些取樣資料來估計

\theta

一旦我們獲得 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，我們就能求得一個關於 $\theta$ 的估計。最大似然估計會尋找關於 $\theta$ 的最可能的值（即，在所有可能的 $\theta$ 取值中，尋找一個值使這個取樣的“可能性”最大化）。這種方法正好同一些其他的估計方法不同，如 $\theta$ 的非偏估計，非偏估計未必會輸出一個最可能的值，而是會輸出一個既不高估也不低估的 $\theta$ 值。

要在數學上實現最大似然估計法，我們首先要定義似然函式:

\mbox{lik}(\theta) = f_D(x_1,\dots,x_n \mid \theta)

並且在 $\theta$ 的所有取值上通過令一階導數等於零，使這個函式取到最大值。這個使可能性最大的 $θ^$

$\widehat{\theta}$ 值即稱為

\theta

的最大似然估計。

注意

這裡的似然函式是指 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 不變時，關於 $\theta$ 的一個函式。

最大似然估計函式不一定是惟一的，甚至不一定存在。

例子

離散分佈，離散有限引數空間

考慮一個拋硬幣的例子。假設這個硬幣正面跟反面輕重不同。我們把這個硬幣拋80次（即，我們獲取一個取樣 $x_1=\mbox{H}, x_2=\mbox{T}, \ldots, x_{80}=\mbox{T}$ 並把正面的次數記下來，正面記為H，反面記為T）。並把丟擲一個正面的概率記為 $p$ ，丟擲一個反面的概率記為 $1-p$ （因此，這裡的 $p$ 即相當於上邊的 $\theta$ ）。假設我們丟擲了49個正面，31個反面，即49次H，31次T。假設這個硬幣是我們從一個裝了三個硬幣的盒子裡頭取出的。這三個硬幣丟擲正面的概率分別為 $p=1/3$ , $p=1/2$ , $p=2/3$ .這些硬幣沒有標記，所以我們無法知道哪個是哪個。使用

最大似然估計，通過這些試驗資料（即取樣資料），我們可以計算出哪個硬幣的可能性最大。這個似然函式取以下三個值中的一個：

\begin{matrix}\mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/3) & = & \binom{80}{49}(1/3)^{49}(1-1/3)^{31} \approx 0.000 \\&&\\\mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=1/2) & = & \binom{80}{49}(1/2)^{49}(1-1/2)^{31} \approx 0.012 \\&&\\\mathbb{P}(\mbox{H=49, T=31 }\mid p=2/3) & = & \binom{80}{49}(2/3)^{49}(1-2/3)^{31} \approx 0.054 \\\end{matrix}

我們可以看到當 $\widehat{p}=2/3$ 時，似然函式取得最大值。這就是 $p$ 的最大似然估計。

離散分佈，連續引數空間

現在假設例子1中的盒子中有無數個硬幣，對於 $0\leq p\leq 1$ 中的任何一個 $p$ ，都有一個丟擲正面概率為 $p$ 的硬幣對應，我們來求其似然函式的最大值：

\begin{matrix}\mbox{lik}(\theta) & = & f_D(\mbox{H=49,T=80-49}\mid p) = \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \\\end{matrix}

其中 $0\leq p\leq 1$ . 我們可以使用微分法來求最值。方程兩邊同時對 $p$ 取微分，並使其為零。

\begin{matrix}0 & = & \frac{d}{dp} \left( \binom{80}{49} p^{49}(1-p)^{31} \right) \\ & & \\ & \propto & 49p^{48}(1-p)^{31} - 31p^{49}(1-p)^{30} \\ & & \\ & = & p^{48}(1-p)^{30}\left[ 49(1-p) - 31p \right] \\\end{matrix}

在不同比例引數值下一個二項式過程的可能性曲線t = 3, n = 10；其最大似然估計值發生在其眾數並在曲線的最大值處。

其解為 $p=0$ , $p=1$ ，以及 $p=49/80$ .使可能性最大的解顯然是 $p=49/80$ （因為 $p=0$ 和 $p=1$ 這兩個解會使可能性為零）。因此我們說最大似然估計值為 $\widehat{p}=49/80$ .

這個結果很容易一般化。只需要用一個字母 $t$ 代替49用以表達伯努利試驗中的被觀察資料（即樣本）的“成功”次數，用另一個字母 $n$ 代表伯努利試驗的次數即可。使用完全同樣的方法即可以得到最大似然估計值:

\widehat{p}=\frac{t}{n}

對於任何成功次數為 $t$ ，試驗總數為 $n$ 的伯努利試驗。

連續分佈，連續引數空間

最常見的連續概率分佈是正態分佈，其概率密度函式如下：

f(x\mid \mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

現在有 $n$ 個正態隨機變數的取樣點，要求的是一個這樣的正態分佈，這些取樣點分佈到這個正態分佈可能性最大（也就是概率密度積最大，每個點更靠近中心點），其 $n$ 個正態隨機變數的取樣的對應密度函式（假設其獨立並服從同一分佈）為：

f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}

或：

f(x_1,\ldots,x_n \mid \mu,\sigma^2) = \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^{n/2} \exp\left(-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

這個分佈有兩個引數： $\mu,\sigma^2$ .有人可能會擔心兩個引數與上邊的討論的例子不同，上邊的例子都只是在一個引數上對可能性進行最大化。實際上，在兩個引數上的求最大值的方法也差不多：只需要分別把可能性 $\mbox{lik}(\mu,\sigma) = f(x_1,,\ldots,x_n \mid \mu, \sigma^2)$ 在兩個引數上最大化即可。當然這比一個引數麻煩一些，但是一點也不復雜。使用上邊例子同樣的符號，我們有 $\theta=(\mu,\sigma^2)$ .

最大化一個似然函式同最大化它的自然對數是等價的。因為自然對數log是一個連續且在似然函式的值域內嚴格遞增的上凸函式。[注意：可能性函式（似然函式）的自然對數跟資訊熵以及Fisher資訊聯絡緊密。]求對數通常能夠一定程度上簡化運算，比如在這個例子中可以看到：

\begin{matrix}0 & = & \frac{\partial}{\partial \mu} \log \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \\ & = & \frac{\partial}{\partial \mu} \left( \log\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\ & = & 0 - \frac{-2n(\bar{x}-\mu)}{2\sigma^2} \\\end{matrix}

這個方程的解是 $\widehat{\mu} = \bar{x} = \sum^{n}_{i=1}x_i/n$ .這的確是這個函式的最大值，因為它是 $\mu$ 裡頭惟一的一階導數等於零的點並且二階導數嚴格小於零。

同理，我們對 $\sigma$ 求導，並使其為零。

\begin{matrix}0 & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \log \left( \left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right)^\frac{n}{2} e^{-\frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right) \\ & = & \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \frac{n}{2}\log\left( \frac{1}{2\pi\sigma^2} \right) - \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\ & = & -\frac{n}{\sigma} + \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2+n(\bar{x}-\mu)^2}{\sigma^3}\\\end{matrix}

這個方程的解是 $\widehat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^n(x_i-\widehat{\mu})^2/n$ .

因此，其關於 $\theta=(\mu,\sigma^2)$ 的最大似然估計為：

\widehat{\theta}=(\widehat{\mu},\widehat{\sigma}^2) = (\bar{x},\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2/n)

性質

泛函不變性（Functional invariance）

如果 $\widehat{\theta}$ 是 $\theta$ 的一個最大似然估計，那麼 $\alpha = g(\theta)$ 的最大似然估計是 $\widehat{\alpha} = g(\widehat{\theta})$ .函式g無需是一個一一對映。請參見George Casella與Roger L. Berger所著的Statistical Inference定理Theorem 7.2.10的證明。（中國大陸出版的大部分教材上也可以找到這個證明。）

漸近線行為

最大似然估計函式在取樣樣本總數趨於無窮的時候達到最小方差（其證明可見於Cramer-Rao lower bound）。當最大似然估計非偏時，等價的，在極限的情況下我們可以稱其有最小的均方差。對於獨立的觀察來說，最大似然估計函式經常趨於正態分佈。

偏差

最大似然估計的偏差是非常重要的。考慮這樣一個例子，標有1到n的n張票放在一個盒子中。從盒子中隨機抽取票。如果n是未知的話，那麼n的最大似然估計值就是抽出的票上標有的n，儘管其期望值的只有 $(n+1)/2$ .為了估計出最高的n值，我們能確定的只能是n值不小於抽出來的票上的值。

歷史

最大似然估計最早是由羅納德·費雪在1912年至1922年間推薦、分析並大範圍推廣的。^[1]（雖然以前高斯、拉普拉斯、T. N. Thiele和也使用過）。^[2] 許多作者都提供了最大似然估計發展的回顧。^[3]

大部分的最大似然估計理論都在貝葉斯統計中第一次得到發展，並被後來的作者簡化。^[1]

理解最大似然估計

最大似然估計的原理

給定一個概率分佈 $D$ ，已知其概率密度函式（連續分佈）或概率質量函式（離散分佈）為 $f_D$ ，以及一個分佈引數 $\theta$ ，我們可以從這個分佈中抽出一個具有 $n$ 個值的取樣 $X_1, X_2,\ldots, X_n$ ，利用 $f_D$ 計算出其概率：

注意