日常 coding 中，我們會很自然的使用一些啟用函式，比如：sigmoid、ReLU等等。不過好像忘了問自己一(n)件事：

1. 為什麼需要啟用函式？
2. 啟用函式都有哪些？都長什麼樣？有哪些優缺點？
3. 怎麼選用啟用函式？

本文正是基於這些問題展開的，歡迎批評指正！

(此圖並沒有什麼卵用，純屬為了裝x …)

Why use activation functions?

啟用函式通常有如下一些性質：

• 非線性： 當啟用函式是線性的時候，一個兩層的神經網路就可以逼近基本上所有的函數了。但是，如果啟用函式是恆等啟用函式的時候（即f(x)=x），就不滿足這個性質了，而且如果MLP使用的是恆等啟用函式，那麼其實整個網路跟單層神經網路是等價的。
• 可微性： 當優化方法是基於梯度的時候，這個性質是必須的。
• 單調性： 當啟用函式是單調的時候，單層網路能夠保證是凸函式。
• f(x)≈x： 當啟用函式滿足這個性質的時候，如果引數的初始化是random的很小的值，那麼神經網路的訓練將會很高效；如果不滿足這個性質，那麼就需要很用心的去設定初始值。
• 輸出值的範圍： 當啟用函式輸出值是 有限 的時候，基於梯度的優化方法會更加 穩定，因為特徵的表示受有限權值的影響更顯著；當啟用函式的輸出是 無限 的時候，模型的訓練會更加高效，不過在這種情況小，一般需要更小的learning rate.

這些性質，也正是我們使用啟用函式的原因！

Activation Functions.

Sigmoid

Sigmoid 是常用的非線性的啟用函式，它的數學形式如下： 

f(x)=11+e−x

正如前一節提到的，它能夠把輸入的連續實值“壓縮”到0和1之間。 
特別的，如果是非常大的負數，那麼輸出就是0；如果是非常大的正數，輸出就是1. 
sigmoid 函式曾經被使用的很多，不過近年來，用它的人越來越少了。主要是因為它的一些 缺點：

• Sigmoids saturate and kill gradients. （saturate 這個詞怎麼翻譯？飽和？）sigmoid 有一個非常致命的缺點，當輸入非常大或者非常小的時候（saturation），這些神經元的梯度是接近於0的，從圖中可以看出梯度的趨勢。所以，你需要尤其注意引數的初始值來儘量避免saturation的情況。如果你的初始值很大的話，大部分神經元可能都會處在saturation的狀態而把gradient kill掉，這會導致網路變的很難學習。
• Sigmoid 的 output 不是0均值. 這是不可取的，因為這會導致後一層的神經元將得到上一層輸出的非0均值的訊號作為輸入。 
  產生的一個結果就是：如果資料進入神經元的時候是正的(e.g. x>0 elementwise in f=wTx+b)，那麼 w 計算出的梯度也會始終都是正的。 
  當然了，如果你是按batch去訓練，那麼那個batch可能得到不同的訊號，所以這個問題還是可以緩解一下的。因此，非0均值這個問題雖然會產生一些不好的影響，不過跟上面提到的 kill gradients 問題相比還是要好很多的。

tanh

tanh 是上圖中的右圖，可以看出，tanh 跟sigmoid還是很像的，實際上，tanh 是sigmoid的變形： 

tanh(x)=2sigmoid(2x)−1

與 sigmoid 不同的是，tanh 是0均值的。因此，實際應用中，tanh 會比 sigmoid 更好（畢竟去粗取精了嘛）。

ReLU

近年來，ReLU 變的越來越受歡迎。它的數學表示式如下： 

f(x)=max(0,x)

很顯然，從圖左可以看出，輸入訊號<0時，輸出都是0，>0 的情況下，輸出等於輸入。w 是二維的情況下，使用ReLU之後的效果如下：

ReLU 的優點：

• Krizhevsky et al. 發現使用 ReLU 得到的SGD的收斂速度會比 sigmoid/tanh 快很多(看右圖)。有人說這是因為它是linear，而且 non-saturating
• 相比於 sigmoid/tanh，ReLU 只需要一個閾值就可以得到啟用值，而不用去算一大堆複雜的運算。

ReLU 的缺點： 當然 ReLU 也有缺點，就是訓練的時候很”脆弱”，很容易就”die”了. 什麼意思呢？

舉個例子：一個非常大的梯度流過一個 ReLU 神經元，更新過引數之後，這個神經元再也不會對任何資料有啟用現象了。

如果這個情況發生了，那麼這個神經元的梯度就永遠都會是0.

實際操作中，如果你的learning rate 很大，那麼很有可能你網路中的40%的神經元都”dead”了。 
當然，如果你設定了一個合適的較小的learning rate，這個問題發生的情況其實也不會太頻繁。

Leaky-ReLU、P-ReLU、R-ReLU

Leaky ReLUs： 就是用來解決這個 “dying ReLU” 的問題的。與 ReLU 不同的是： 

f(x)=αx，(x<0) f(x)=x，(x>=0)

這裡的 α 是一個很小的常數。這樣，即修正了資料分佈，又保留了一些負軸的值，使得負軸資訊不會全部丟失。

關於Leaky ReLU 的效果，眾說紛紜，沒有清晰的定論。有些人做了實驗發現 Leaky ReLU 表現的很好；有些實驗則證明並不是這樣。

Parametric ReLU： 對於 Leaky ReLU 中的α，通常都是通過先驗知識人工賦值的。 
然而可以觀察到，損失函式對α的導數我們是可以求得的，可不可以將它作為一個引數進行訓練呢？ 
Kaiming He的論文《Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classification》指出，不僅可以訓練，而且效果更好。

公式非常簡單，反向傳播至未啟用前的神經元的公式就不寫了，很容易就能得到。對α的導數如下：

δyiδα=0，(ifyi>0)，else=yi

原文說使用了Parametric ReLU後，最終效果比不用提高了1.03%.

Randomized ReLU： 
Randomized Leaky ReLU 是 leaky ReLU 的random 版本 （α 是random的）. 
它首次試在 kaggle 的NDSB 比賽中被提出的。

核心思想就是，在訓練過程中，α 是從一個高斯分佈 U(l,u) 中 隨機出來的，然後再測試過程中進行修正（有點像dropout的用法）。

數學表示如下：

在測試階段，把訓練過程中所有的 αij 取個平均值。NDSB 冠軍的 α 是從 U(3,8) 中隨機出來的。那麼，在測試階段，啟用函式就是就是： 

yij=xijl+u2

看看 cifar-100 中的實驗結果：

Maxout

Maxout出現在ICML2013上，作者Goodfellow將maxout和dropout結合後，號稱在MNIST, CIFAR-10, CIFAR-100, SVHN這4個數據上都取得了start-of-art的識別率。 
Maxout 公式如下： 

fi(x)=maxj∈[1,k]zij

假設 w 是2維，那麼有： 

f(x)=max(wT1x+b1,wT2x+b2)

可以注意到，ReLU 和 Leaky ReLU 都是它的一個變形（比如，w1,

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