遞迴、分治和動態規劃的關係
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動態規劃
如果大問題分解為很多小問題後,小問題有互相重疊部分,則用遞迴的思路來分析問題,再用陣列儲存中間結果+迴圈的思路來寫程式碼!
動態規劃的三個特徵
- 適用於最優解問題
- 有大量的重複子問題
- 子問題之間有依賴(不獨立)
與遞迴的關係:這些重複的子問題,DP演算法將其結果用一維或二維陣列(鄰接矩陣)儲存下來,等下一次又要計算該子問題時,直接用已計算好的;而遞迴卻不是這樣,它會一遍又一遍地計算這些重複的子問題,從而效率狂降。子問題重複率較高的遞迴演算法可改寫成動態規劃,但不是所有遞迴演算法都適合改成動態規劃。
與分治的關係:在分治法中,有大量的重複子問題,且它們之間無依賴。
如何寫動態規劃題目的程式碼
我覺得動態規劃題目是很簡單的,因為只要推出了遞推式,什麼0-1揹包問題、作業排程問題、最長共同子序列LCS問題等等,程式碼根據遞推式便可一氣呵成。
那又如何寫分治題目的程式碼
舉例:
動態規劃的兩種型別
1.自頂向下的動態規劃實現:用的遞迴。
2.自底向上的動態規劃實現:用的迭代。
斐波拉契數列
1.普通的遞迴實現的動態規劃:效率特別低,有大量的重複計算,指數級的時間複雜度。
int Fibo(int n)
{
if(n==0)
return 0;
if(n==1)
return 1;
return Fibo(n-1)+Fibo(n-2);
}
2.自底向上的動態規劃實現:會記錄重複子問題結果的改進版迭代。只要有儲存已經計算出的值的空間,就能把這項技術應用到任何遞迴計算中,就能把演算法從指數級執行時間向線性時間改進。
int Fibo(int n)
{
int temp[n];
temp[0]=0;
temp[1]=1;
for(int i=2;i<n+1;++i)
{
temp[i]=temp[i-1]+temp[i-2];
}
return temp[n];
}
3.自頂向下的動態規劃實現:
要先寫出遞推式,遞推式:
n=0時,f(n)=0,即在f(n)函式中return 0
n=1時,f(n)=1,即在f(n)函式中return 1
n>1時,f(n)=f(n-1)+f(n-2),即在f(n)函式中return f(n-1)+f(n-2)
再用array陣列來記錄計算出的結果,避免重複計算一些值。
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
#define N 12
int array[N] = {0};
int Fibo(int n)
{
//不等於初始值0,則表示該元素已經求解過了,直接用其值即可。
if(array[n]!=0)
return array[n];
//完成按著遞推式來寫邏輯,即可!
if(n==0)
return array[n] = 0;
if(n==1)
return array[n] = 1;
if(n>1)
return array[n] = Fibo(n-1)+Fibo(n-2);
}
int main()
{
memset(array,0,sizeof(array));
cout << Fibo(N) << endl;
return 0;
}
總結:
為了避免遞迴產生的重複計算,多采用從下而上的迭代實現。所以,一般用自頂向下的遞迴思路來分析問題,並用自底向上的迭代思路來實現問題。自底向上也就是像求解斐波拉契數列那樣,先給出f(0)和f(1)這些已知數值,再在迴圈裡自底向上求解f(2)~f(n)的值,最後返回f(n)即可。
當然,用自頂向下的實現方式,並用陣列記錄計算過的值,一樣可以避免重複的計算,也行~