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NOIP模板複習——數論

阿新 • • 發佈：2018-12-30

最大公約數與最小公倍數

int gcd(int a,int b)
{
	int r=a%b;
	while(r!=0)
	{
		a=b;
		b=r;
		r=a%b;
	}
	return b;
}
int lcm(int a,int b)
{
	return a*b/gcd(a,b);
}

快速冪&快速積

快速積的主要作用是防止乘數過大，炸 long long 範圍

int Multiply(int a,int b)
{
	int ans=0;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		  ans=(ans+a)%Mod;
		a=(a+a)
 
%Mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int Power(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		  ans=Multiply(ans,a);
		a=Multiply(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

線性篩

p r i m

e prime 是素數集， m a x max 是最大質因數， m
i n min 是最小質因數， p h i phi 是尤拉函式， m a r k mark 是標記一個數是否為素數

int prime[N],Max[N],Min[N],phi[N];
bool mark[N];
void linear_sieves()
{
	int i,j,sum=0;
	memset(mark,true,sizeof(mark));
	mark[0]=mark[1]=false;phi[1]=1;
	for(i=2;i<N;++i)
	{
		if(mark[i])
		{
			phi[i]=i-1;
			prime[++sum]=i;
			Min[i]=Max[i]=i;
		}
		for(j=1;j<=sum&&i*prime[j]<N;++j)
		{
			mark[i*prime[j]]=false;
			Max[i*prime[j]]=Max[i];
			Min[i*prime[j]]=prime[j];
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			else  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}

質因數分解

這個要用到線性篩素數（ s u m sum 是篩出的素數個數）

聽說複雜度是 O ( n ln ⁡ n ) O(\frac{\sqrt n}{\ln n}) （因為 n n 以內的素數約有 n ln ⁡ n \frac{n}{\ln n} 個，所以 n \sqrt n 內就有 n ln ⁡ n \frac{\sqrt n}{\ln \sqrt n} 個，而 ln ⁡ n = 2 ln ⁡ n \ln n=2\ln \sqrt n ），不過只用記住它比較小就行了

void divide(int x)
{
	int i;
	for(i=1;i<=sum&&prime[i]*prime[i]<=x;++i)
	{
		while(x%prime[i]==0)
		{
			x/=prime[i];
			printf("%d ",prime[i]);
		}
	}
	if(x!=1)  printf("%d",x);
}

擴充套件歐幾里得

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(!b)
	{
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}

逆元

快速冪（要求模數必須為質數）

inv 是逆元，x 是要求逆元的數，Power是快速冪，Mod 是模數

inv=Power(x,Mod-2);

擴充套件歐幾里得（要求 x 必須與 Mod 互質）

exgcd(x,Mod,inv,y);
inv=(inv+Mod)%Mod;

Ps：快速冪和擴歐的模板就去上面看啦

線推

inv[1]=1;
for(i=2;i<=n;++i)
    inv[i]=1ll*(Mod-Mod/i)*inv[Mod%i]%Mod;

組合數

O ( n 2 ) O(n^2) 遞推組合數（方便取模）

C[n][m] 表示 C n m C_{n}^{m} 

C[0][0]=1;
for(i=1;i<=n;++i)
{
	C[i][0]=1;
	for(j=1;j<=i;++j)
	    C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%Mod;
}

線性篩出階乘和逆元， O ( 1 ) O(1) 求組合數（Power 是快速冪，求逆元用的）

f a c fac 是階乘， i n v inv 是階乘的逆元

void init()
{
	int i;
	fac[0]=fac[1]=1;
	for(i=2;i<=n;++i)  fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%Mod;
	inv[n]=Power(fac[n],Mod-2);
	for(i=n-1;i>=1;--i)  inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%Mod;
}
int C(int n,int m)
{
	return 1ll*fac[n]*inv[m]%Mod*inv[n-m]%Mod;
}

高斯消元

a[i][1]~a[i][n] 是各個元的係數， a[i][n+1] 是該計算出來的值

void Guass()
{
	int i,j,k;
	for(i=1;i<=n;++i)
	{
		k=i;
		for(j=i+1;j<=n;++j)
		  if(fabs(a[k][i])<fabs(a[j][i]))
		    k=j;
		swap(a[i],a[k]);
		for(j=i+1;j<=n;++j)
		  for(k=i+1;k<=n+1;++k)
		    a[j][k]-=a[i][k]*a[j][i]/a[i][i];
	}
	for(i=n;i;--i)
	{
		for(j=i+1;j<=n;++j)
		  a[i][n+1]-=ans[j]*a[i][j];
		ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
	}
}

矩陣快速冪

這裡就把大致的框架打出來（程式碼中是 2 ∗ 2 2*2 的矩陣）

struct matrix
{
	int m[N][N];
	matrix(int t=0)
	{
		memset(m,0,sizeof(m));
		for(int i=1;i<=2;++i)  m[i][i]=t;
	}
	friend matrix operator * (const matrix &a,const matrix &b)
	{
		int i,j,k;
		matrix c(0);
		for(i=1;i<=2;++i)
		  for(j=1;j<=2;++j)
		    for(k=1;k<=2;++k)
		      c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
		return c;
	}
	friend matrix operator ^ (matrix a,long long b)
	{
		matrix c(1);
		for(;b;b>>=1,a=a*a)
		  if(b&1)
		    c=c*a;
		return c;
	}
};

康拓展開

康拓展開和逆康拓展開（ f a c fac 是預處理出來的階乘）

ll cantor()
{
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int num=0;
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
		  if(a[j]<a[i])  num++;
		ans+=fac[n-i]*num;
	}
	return ans;
}
void reverse_cantor(ll x)
{
	int i,j;x--;
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	for(i=1;i<=n;++i)
	{
		int num=x/fac[n-i
            
  

           

              
              

            

            
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NOIP模板複習——數論

     
  
  
  
 最大公約數與最小公倍數 
 int gcd(int a,int b)
{
	int r=a%b;
	while(r!=0)
	{
		a=b;
		b=r;
		r=a%b;
	}
	return b;
}
int lcm(int a,int b)
{
	return a*b/gcd(a,b 



  
 

    


    
    
備戰NOIP——模板複習2

     
 
								
								            
						
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並查集模板

路徑壓縮

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Tarjan模板

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最近公共祖先（LCA)

樹鏈剖分

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逆元

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線性遞推

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NOIP模板複習——資料結構

     
  
  
  
 並查集 
 int find(int x)
{
	if(father[x]!=x)
	    father[x]=find(father[x]);
	return father[x];
}
void Merge(int x,int y)
{
	x=find(x);
	y=find(y);
	 



  
 

    


    
    
NOIP模板複習——圖論

     
  
  
  
 由於圖論中有些演算法的程式碼比較長，就只貼核心程式碼 
 最短路 
 floyd 
 void floyd()
{
	int i,j,k;
	for(k=1;k<=n;++k)
	    for(i=1;i<=n;++i)
	        for(j=1;j<=n;++j 



  
 

    


    
    
NOIP模板複習——經典動態規劃

     
  
  
  
 揹包問題 
 0/1 揹包 
 n 為物品數，m 為揹包體積，v 為物品體積，w 為物品價值，f[i] 為體積為 i 的揹包能獲得的最大價值 
 for(i=1;i<=n;++i)
{
	scanf("%d%d",&v,&w);
	for(j=m;j>=v;--j 



  
 

    


    
    
NOIP模板複習——字串

     
  
  
  
 雜湊 
 直接用 unsigned long long，讓它自然溢位（對 
     
      
       
        
         
          2
         
         
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NOIP模板複習——基礎演算法

     
  
  
  
 二分 
 求滿足條件的最小值 
 while(l<r)
{
	int mid=(l+r)>>1;
	if(check(mid))  r=mid;
	else  l=mid+1;
}
 
 求滿足條件的最大值 
 while(l<r)
{
	int mid=(l+r+1 



  
 

    


    
    
備戰NOIP——模板複習19

     
 
								
								            
						
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最小生成樹

Prim

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備戰NOIP——模板複習14

     
 
								
								            
						
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樹狀陣列（B.I.T）

單點修改區間查詢

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NOIP複賽複習（三）檔案讀寫與數論模板

     
  
 
  檔案讀入讀出 
  假設題目名為“add”，那麼資料夾名為“add”，c++程式名為“add.cpp”，讀入檔名為“add.in”，輸出檔名為“add.out”。四個的拼寫均不可有誤，包括大小寫差異。千萬不要除錯後就忘記修改檔案讀入讀出了。  
  #include<cstdio& 



  
 

    


    
    
NOIP複賽複習（十二）數論演算法鞏固與提高

     
  
 
  一、數論 
     
  1.數 
    
  整數、自然數（大於等於0的整數）、正整數（大於0的整數）、負整數、非負整數、非正整數、非零整數、奇數偶數。 
    
  2.整除性 
    
  設a,b∈Z，如果存在c∈Z並且a=bc，則 



  
 

    


    
    
NOIP複賽複習（八）STL演算法與樹結構模板

     
  
 
  STL演算法 
  STL 演算法是一些模板函式，提供了相當多的有用演算法和操作，從簡單如for_each（遍歷）到複雜如stable_sort（穩定排序），標頭檔案是：#include <algorithm>。常用STL 演算法庫包括：sort快速排序演算法、二分 



  
 

    


    
    
NOIP複賽複習（七）STL容器與字串模板

     
  
 
  STL容器 
  STL 容器是一些模板類，提供了多種組織資料的常用方法。常用的STL容器包括pair（組合）、list（列表，類似於連結串列）、vector（向量，類似於陣列）、priority_queue（優先佇列）、set（集合）、map（對映）、stack（棧）等，通過模板的引數