計算幾何一 （convex Hull）

B.Extreme Points

Extremity 當一個點存在一條經過它的直線，並且無法將圖形分為兩塊時，極點。

判斷極點的方法，判斷這個極點是否存在於一個三角形的內部

Make all points of S as EXTRMEE

For each triangle ▲ (p,q,r)

​ For each s ∈ S \ {p,q,r} //S集合，除p,q,r所有的數

​ If s ∈ ▲（p,q,r） then

​ mark s as NON_EXTREAM

void
 
 extremePoint(Point S[],int n) { //O(n^4)
    for (int s = 0; s < n ; s ++) S[s].extreme = true;
    for (int p = 0; p < n ; p ++) 
        for (int q = p+1; q < n ; q ++)
            for (int r = q+1; r < n ; r ++)
                for (int s = 0; p < n ; s ++){
                    if (s==p || s==q || s==r || !S[s].extreme)
                        continue
 
;
                   if (InTriangle(S[q],S[p],S[r],S[s]))
                       S[s].extreme = false;
                }
}

To - Left - Test (Important)

如何判斷一個點是不是在三角形內部呢？

就是To - Left - Test

如果一個點在三角形的內部，那麼這個函式返回的就是三個True或者三個False

原本的話，可以依靠解析幾何解出來，現在我們可以依靠行列式

海倫公式，給出三個點，返回面積

        s

    p       q

2
 
*S = |  p.x  p.y  1 |
      |  q.x  q.y  1 |
      |  s.x  s.y  1 |
//原理

bool ToLeft (Point p,Point q,Point s)
    return Area2(p,q,s) > 0;

int Area2(Point p,Point q,Point s){
    return (
        p.x * q.y - p.y * q.x
      + q.x * s.y - q.y * s.x
      + s.x * p.y - s.y * p.x
    )
}
//返回的是兩倍的面積，程式碼簡潔，並且有效的避免了除法，三角函式，這些會增加計算負擔，還會引入誤差