在訓練資料不夠多，網路結構很複雜，或者overtraining時，可能會產生過擬合問題。

一般我們會將整個資料集分為訓練集training data、validation data，testing data。這個validation data是什麼？它其實就是用來避免過擬合的，在訓練過程中，我們通常用它來確定一些超引數（比如根據validation data上的accuracy來確定提前終止的epoch大小、根據validation data確定learning rate等等）。那為啥不直接在testing data上做這些呢？因為如果在testing data做這些，那麼隨著訓練的進行，我們的網路實際上就是在一點一點地overfitting我們的testing data，導致最後得到的testing accuracy沒有任何參考意義。因此，training data的作用是計算梯度更新權重，validation data如上所述，testing data則給出一個accuracy以判斷網路的好壞。

那麼過擬合的直觀解釋為，隨著訓練過程的進行，模型複雜度增加，在training data上的error漸漸減小，但是在驗證集上的error卻反而漸漸增大——因為訓練出來的網路過擬合了訓練集，對訓練集外的資料效果不好。也就是如過產生了過擬合問題，那麼用training data得到的準確率同testing data得到的準確率相差非常大。

那麼為了防止過擬合問題，可用的方法有：得到更大的資料集，正則化方法，在網路層dropout一下。下面主要對dropout和正則化方法做討論。

1.dropout

dropout的實質就是隨機的讓每層的一些神經元不工作以減少模型的複雜度。

它為什麼有助於防止過擬合呢？可以簡單地這樣解釋，運用了dropout的訓練過程，相當於訓練了很多個只有半數隱層單元的神經網路（後面簡稱為“半數網路”），每一個這樣的半數網路，都可以給出一個分類結果，這些結果有的是正確的，有的是錯誤的。隨著訓練的進行，大部分半數網路都可以給出正確的分類結果，那麼少數的錯誤分類結果就不會對最終結果造成大的影響。

2.正則化

L2正則化就是在代價函式後面再加上一個正則化項：

C0代表原始的代價函式，後面那一項就是L2正則化項，它是這樣來的：所有引數w的平方的和，除以訓練集的樣本大小n。λ就是正則項係數，權衡正則項與C0項的比重。另外還有一個係數1/2，1/2經常會看到，主要是為了後面求導的結果方便，後面那一項求導會產生一個2，與1/2相乘剛好湊整。

L2正則化項是怎麼避免overfitting的呢？我們推導一下看看，先求導：

可以發現L2正則化項對b的更新沒有影響，但是對於w的更新有影響:

在不使用L2正則化時，求導結果中w前係數為1，現在w前面係數為 1−ηλ/n ，因為η、λ、n都是正的，所以 1−ηλ/n小於1，它的效果是減小w，這也就是權重衰減（weight decay）的由來。當然考慮到後面的導數項，w最終的值可能增大也可能減小。

另外，需要提一下，對於基於mini-batch的隨機梯度下降，w和b更新的公式跟上面給出的有點不同：

對比上面w的更新公式，可以發現後面那一項變了，變成所有導數加和，乘以η再除以m，m是一個mini-batch中樣本的個數。

到目前為止，我們只是解釋了L2正則化項有讓w“變小”的效果，但是還沒解釋為什麼w“變小”可以防止overfitting？一個所謂“顯而易見”的解釋就是：更小的權值w，從某種意義上說，表示網路的複雜度更低，對資料的擬合剛剛好（這個法則也叫做奧卡姆剃刀），而在實際應用中，也驗證了這一點，L2正則化的效果往往好於未經正則化的效果。當然，對於很多人（包括我）來說，這個解釋似乎不那麼顯而易見，所以這裡新增一個稍微數學一點的解釋（引自知乎）：

過擬合的時候，擬合函式的係數往往非常大，為什麼？如下圖所示，過擬合，就是擬合函式需要顧忌每一個點，最終形成的擬合函式波動很大。在某些很小的區間裡，函式值的變化很劇烈。這就意味著函式在某些小區間裡的導數值（絕對值）非常大，由於自變數值可大可小，所以只有係數足夠大，才能保證導數值很大。

而正則化是通過約束引數的範數使其不要太大，所以可以在一定程度上減少過擬合情況。

 L1正則化：

在原始的代價函式後面加上一個L1正則化項，即所有權重w的絕對值的和，乘以λ/n（這裡不像L2正則化項那樣，需要再乘以1/2，具體原因上面已經說過。）

同樣先計算導數：

上式中sgn(w)表示w的符號。那麼權重w的更新規則為：

比原始的更新規則多出了η * λ * sgn(w)/n這一項。當w為正時，更新後的w變小。當w為負時，更新後的w變大——因此它的效果就是讓w往0靠，使網路中的權重儘可能為0，也就相當於減小了網路複雜度，防止過擬合。

另外，上面沒有提到一個問題，當w為0時怎麼辦？當w等於0時，|W|是不可導的，所以我們只能按照原始的未經正則化的方法去更新w，這就相當於去掉η*λ*sgn(w)/n這一項，所以我們可以規定sgn(0)=0，這樣就把w=0的情況也統一進來了。（在程式設計的時候，令sgn(0)=0,sgn(w>0)=1,sgn(w<0)=-1）

下一篇將討論優化器（optimizer）問題。

import tensorflow as tf
from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data

'''
##簡單版本
##只有兩層網路，輸入層和輸出層,loss加入正則化項
'''

mnist = input_data.read_data_sets('MNIST_data',one_hot=True)

batch_size = 100
n_batch = mnist.train.num_examples // batch_size

x_train = tf.placeholder(tf.float32,[None,784])
y_train = tf.placeholder(tf.float32,[None,10])

w = tf.Variable(tf.zeros([784,10]))
bias = tf.Variable(tf.zeros([1,10]))
y = tf.nn.softmax(tf.matmul(x_train,w) + bias)

loss_mse = tf.reduce_mean(tf.square(y - y_train))   #MSE代價函式
#loss_cr = tf.reduce_mean(tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels=y_train,logits=y)) #交叉熵代價函式
tf.add_to_collection("losses",loss_mse)
#獲取整個模型的損失函式,tf.get_collection("losses")返回集合中定義的損失
#將整個集合中的損失相加得到整個模型的損失函式
loss = tf.add_n(tf.get_collection("losses"))

#train = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.1).minimize(loss)
#train = tf.train.AdadeltaOptimizer(1e-3).minimize(loss)
train = tf.train.MomentumOptimizer(0.1,0.9).minimize(loss)

init = tf.global_variables_initializer()

correct = tf.equal(tf.argmax(y_train,1),tf.argmax(y,1))
accuracy = tf.reduce_mean(tf.cast(correct,tf.float32))

with tf.Session() as sess:
    sess.run(init)
    loss_mse_list = []
    loss_list = []
    for epoch in range(31):
        for batch in range(n_batch):
            batch_xs,batch_ys = mnist.train.next_batch(batch_size)
            sess.run(train,feed_dict={x_train:batch_xs,y_train:batch_ys}) 
            loss_mse_list.append(sess.run(loss_mse,feed_dict={x_train:batch_xs,y_train:batch_ys}))
            loss_list.append(sess.run(loss,feed_dict={x_train:batch_xs,y_train:batch_ys}))
            
        acc = sess.run(accuracy,feed_dict={x_train:mnist.test.images,y_train:mnist.test.labels})
        print('iteration ', str(epoch),' accuracy: ',acc)
    plt.plot(loss_mse_list)
    plt.plot(loss_list)
    plt.legend(('loss_mse','loss'))