本篇文章，解釋的是水平集演算法最基礎的原理。

水平集方法的解釋
有一個表面S，它與一個平面P相交，得到一個曲線C，這個C就是我們通過水平集得到的輪廓。
在影象分割中，表面S是隨著由影象派生得到的勢（force）來更新。
本文的思路是：
1提出問題
2提出解決方法
3方法的侷限性

跟蹤介面
首先，我們來想象水從一個小山的山頂往下流的畫面。我們的目標是，在水往下流的時候，跟蹤水前（water front，每一個點的水下一秒流動的方向叫作水前，我們跟蹤的是所有點的水前。並且我們的初始條件是，所有初始位置點構成的曲線）。

如下圖所示，這是一個V型小山，黑色部分是山頂，越往白色的地方，海拔越低。

問題來了，如何在給定時間T時刻，得到所有的水前？

顯式輪廓方法
一個方法是，跟蹤一系列點，沿著它們的法線方向（normal direction）來演化水前，並且猜測水前的停止位置。

如下圖所示，在t=0時刻點集的水前位置，當t=1的時候，點集運動到了虛線位置。

顯式演化一個點集的水前，聽起來是個好主意，但是它有很大的缺陷，使得我們不得不放棄這種可以直觀理解的方法。

那究竟是什麼缺陷呢？
如下圖所示，這個倒V型的曲線，在它的頂端是一個角（corner）。離角最近的那兩個點有著各自的水前，它們方向不一致。隨著水前的演化，該角最後的狀態將無法得知。紅色是0時刻的點狀態，粉色是1時刻的點狀態。

在應用上，拓撲變化需要關注的問題更多，比如在分裂和合並的情況下。在我們的小山流水的例子中，左圖的中間的紅色矩形方框是初始點集，圈住的是山頂最高位置，即將向上下的白色山谷流下去。
在右圖中，我們看到，初始點集演化到一定階段，就會分裂，並且分裂後會與本來在山谷裡的曲線合併~問題很明白了，這個方法要解決的挑戰是，如何確定在分裂時該插入的點，以及在分裂時該刪掉的點呢？

隱式輪廓方法
這個方法的本質是演化一個表面S，而不是一個水前曲線C，且我們用隱式輪廓法得到的水前定義為這個表面S在高度h=0的所有點構成的集合（沒有刪除和插值這麼麻煩的事情了，開心~）。於是根據定義，水前曲線就是零水平集φ=0。如下圖所示，是從一個演化的表面得到輪廓。

當表面φ（x,y,t）在演化時，它將呈現杯狀，過後杯口或將變窄，或將消失。下圖中的零水平集顯示了輪廓曲線合併和分裂的情況，z=0表示的是山谷。

（a）t=50，合併開始 （b）t=52，合併結束

（c）t=90，分裂開始 （d）t=120，分裂結束

對於拓撲變化，我們不用再過多關注其它問題了。
那麼問題在於，我們如何確定函式φ呢？

水平集方程
首先，我們來看看這個方法背後的數學理論~
點x(x,y)屬於一個隨著時間演化的曲線，x(t)為它在t時刻的位置。在任意時刻t，對於每一個點x(t)都是表面φ在高度為0的曲線上的點，即：
φ(x(t),t) = 0

問題還是，這個函式φ到底是什麼呢？
只要它給得出我們需要的零水平集，那麼它可以是任何定義。。。（這就糟了，怎麼造呢）

舉個栗子，上面有一幅圖，顯示的初始輪廓是一個矩形。該表面的高度等於（x,y）到輪廓上點的最近距離，於是有φ(x,y,t=0)=±d，+d表示在輪廓外，-d表示在輪廓內。只要φ的零水平集可以匹配初始輪廓，那它可以被定義成任何函式。
在時刻t=0處，給定初始函式φ，根據運動方程∂φ/∂t我們可以得到任意t時刻的φ。對於此，利用鏈式法則，有：

把∂φ/∂x記作▽φ，速度x_t 的方向由表面的法向量給定，因此x_t =F(x(t))n，其中。上面的運動方程可重寫為：

最後一個方程定義了φ的運動。給定t=0時的φ以及它隨時間演化的運動方程，我們可以通過演化初始函式得知任何t時刻的。這樣我們就回答了最初的問題，即我們知道了φ是什麼。
φ有個有趣的特徵，就是我們可以用下式得到表面的曲率：

我們可以用這個來控制水前曲線的平滑度。

應用
在計算機的世界，影象是具有的畫素，而函式需要被離散化。也就是說，在 畫素(i,j)處的值由估計。這個梯度由有限差分法（finite difference scheme）來估計,比如下：

其中，對於給定點x，表示左有限差分，表示右有限差分。如下圖所示，梯度計算的方式因水前方向的不同而不同，有點差分法也會考慮到水前方向。

於是，之前的運動方程可化作：

從此，我們可以用下式來更新表面：

當我們計算曲率的時候，只依賴於表面φ。於是可以使用中心差分法：

曲率的數值計算可利用下式：

為了使水前曲線平滑，高的曲率應該被懲罰。為了使零水平集擴充套件，我們不通過減小φ，而是利用高曲率使得水前運動反向。我們可以利用曲率來更新：

結果
給定任意的初始函式φ，比如一個初始輪廓的距離轉換，的數值計算方法，我們來展示一些輪廓演化的例子。
第一個小栗子，一滴在擴充套件的水，前面有一個小障礙物，如下圖所示：

水前運動被障礙物停止下來，並被擾動。
下面有個更復雜的例子。

初始輪廓仍舊是個圓~~隨著表面的演化，輪廓開始分裂，從第三圖可看到已經完全分裂。

下面這個例子，利用真實的圖片。不使用連續的正勢和負勢，有無曲率皆可以，我們利用影象派生出勢(force)。這個勢值在物體內應該很高，在十分接近物體的邊緣時，應該很低（我們是從物體內部去得到它的邊緣的）。影象的梯度表現了它的邊緣所在。

勢可以是上面梯度影象的逆，也可以是它的高斯部分，如下：

λ和σ是控制懲罰因子的引數。下圖是使用梯度影象來演化輪廓：

到此為止，你應該瞭解，水平集方法是關於演化表面的函式，而不是演化曲線的函式~~（儘管我們的目的是得到輪廓）
這也是這個方法的優雅魅力之處！