十、最大熵模型與EM演算法
一、最大熵模型
證明:,求導是凸函式,在x=1處取得極值
1、熵
熵是資訊的度量,與資訊量成反比。
資訊量:
事件發生的概率越高,對應的資訊量越低,事件發生的概率越小,對應的資訊量越大。
熵是資訊量的期望:
兩點分佈的最大熵:
三點分佈:
p1=p2=p3的時候,曲面的值最高(圖1)
當X滿足均勻分佈時,熵最大:
聯合熵和條件熵
聯合熵:H(X,Y),表示X,Y同時發生的不確定性
解釋:聯合熵=X發生的熵+X發生的條件下Y發生的熵
聯合熵的性質:
- 聯合熵>=變數熵中最大的
- 聯合熵<=變數熵之和
條件熵:Y發生的條件下,X發生的不確定性
相對熵
度量兩個分佈之間的差異
如果用距離度量的話,兩個分佈的點的個數要相等,如果不等的話,無法進行單個點距離的度量。
E_px 表示期望
證明:利用Jenson不等式,
Jensen不等式表述如下:
如果f是凸函式,X是隨機變數,那麼
- 如果f是凹函式,X是隨機變數,那麼
交叉熵
互資訊
(五六行新增負號)
總結
2、最大熵模型
承認已知事物
對未知事物不做任何假設,沒有任何偏見
示例:
假設1:
假設2:
利用最大熵模型:
承認已知的X,讓未知的Y的概率最大。
寫成一般的形式:
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