[UOJ317]【NOI2017】遊戲 題解
阿新 • • 發佈：2018-12-30
題意：
小 L 計劃進行 \(n\) 場遊戲，每場遊戲使用一張地圖，小 L 會選擇一輛車在該地圖上完成遊戲。
小 L 的賽車有三輛，分別用大寫字母 A、B、C 表示。地圖一共有四種，分別用小寫字母 x、a、b、c 表示。其中，賽車 A 不適合在地圖 a 上使用，賽車 B 不適合在地圖 b 上使用，賽車 C 不適合在地圖 c 上使用，而地圖 x 則適合所有賽車參加。適合所有賽車參加的地圖並不多見，最多隻會有 \(d\) 張。
\(n\) 場遊戲的地圖可以用一個小寫字母組成的字串描述。例如：\(\underline{S=xaabxcbc}\) 表示小 L 計劃進行 8 場遊戲，其中第 1 場和第 5 場的地圖型別是 x，適合所有賽車，第 2 場和第 3 場的地圖是 a，不適合賽車 A，第 4 場和第 7 場的地圖是 b，不適合賽車 B，第 6 場和第 8 場的地圖是 c，不適合賽車 C。
小 L 對遊戲有一些特殊的要求（共 \(m\) 條），這些要求可以用四元組 \((i,h_i,j,h_j)\) 來描述，表示若在第 \(i\) 場使用型號為 \(h_i\) 的車子，則第 \(j\) 場遊戲要使用型號為 \(h_j\) 的車子。
你能幫小 L 選擇每場遊戲使用的賽車嗎？如果有多種方案，輸出任意一種方案。如果無解，輸出 “-1”（不含雙引號）。
資料範圍：
\(n \le 50000,d \le 8,m\le100000.\)
題解：
話說我NOI的題改起來好費力啊TAT 一道就一天（還對著資料改）
不難發現這和之前一道題類似LA 3713。
雖然有很多種類，但每個人也只有兩種可以選擇，並且關係也是二元的。
所以我們就可以套2-SAT模板了qwq 不會2-SAT請點這裡.
首先暴力列舉每個 \(x\) 的狀態，從 \(a,b,c\) 中選取一個就行了。
然後對於那些二元關係 \((i,h_i,j,h_j)\)，就如下考慮。
- \(i\) 可以選擇 \(h_i\) 這種賽車
- \(j\) 無法選擇 \(h_j\) 這種賽車，那麼 \(i\) 就必不能選 \(h_i\) 了，就連一條 \(h_i \to \lnot h_i\) 的邊（此處 \(\lnot h_i\) 表示 \(i\) 可以選擇的另一種賽車）
- \(j\) 可以選擇 \(h_j\) 這種賽車，那麼就只要連 \(h_i \to h_j\)的邊就好了
- \(i\) 不可以選擇 \(h_i\) 這種賽車：那就直接跳過就行了。
然後記得要建逆否命題等價的另一條邊。
如果用DFS複雜度為 \(\Theta(3^d nm)\)，Tarjan就是 \(\Theta(3^d (n+m))\) 啦。
其實第二個Tarjan複雜度已經足夠過了。。。但是能更優！
有這樣一個結論：
如果一個 \(x\) 已經考慮過 \(a,b\) 兩個狀態了，那麼我們就不用考慮為 \(c\) 的狀態。
這是為什麼呢？
因為 \((A,B)\) 和 \((B,C)\) 的兩種選擇你都已經考慮過了，那麼剩下一種 \((A,C)\) 你前面一定會在前面一種選過。（因為每個點只能從那三種中選擇一種賽車，如果另外兩種都不可行，剩下一種也不行了）
這樣我們就可以將複雜度降為 \(\Theta(2^d(n+m))\) qwq
然而又有垃圾UOJ hack資料 我判了一下快到0.8s的時候，直接輸出"-1"...才過 （
卡常數真的噁心）- \(i\) 可以選擇 \(h_i\) 這種賽車
程式碼：
我一開始寫了個DFS的可以跑過85分.... 然而有人能用這個A掉 Orz
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
using namespace std;
inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}
inline int read() {
int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
return x * fh;
}
void File() {
#ifdef zjp_shadow
freopen ("317.in", "r", stdin);
freopen ("317.out", "w", stdout);
#endif
}
const int N = 100010;
char str[N];
int Jump[N], len, Last;
int m;
struct Limit { int u, v; char colu, colv; } lt[N];
char opt[N][2];
struct Two_SAT {
bitset<N> mark;
int Next[N], Head[N], to[N], e, n;
void Init(int n) { this -> n = n; mark.reset(); Set(Head, 0); e = 0; }
void add_edge(int u, int v) { to[++ e] = v; Next[e] = Head[u]; Head[u] = e; }
void Add(int x, int xv, int y, int yv) {
x = x << 1 | xv; y = y << 1 | yv;
add_edge(x, y); add_edge(y ^ 1, x ^ 1);
} //(x,xv) -> (y,yv)
int sta[N], top;
bool Dfs(int x) {
if (mark[x ^ 1]) return false;
if (mark[x]) return true;
sta[++ top] = x; mark[x] = true;
for (int i = Head[x]; i; i = Next[i])
if (!Dfs(to[i])) return false;
return true;
}
bool Solve() {
for (int i = 2; i <= 2 * n; i += 2)
if (!mark[i] && !mark[i ^ 1]) {
top = 0;
if (!Dfs(i)) {
while (top) mark[sta[top --]] = false;
if (!Dfs(i ^ 1)) { return false; }
}
}
return true;
}
} T;
int n;
inline bool Check() {
T.Init(n);
For (i, 1, m) {
int u = lt[i].u, v = lt[i].v, colu = lt[i].colu, colv = lt[i].colv;
if (u == v && colu == colv) continue ;
For (v1, 0, 1) if (opt[u][v1] == colu) {
bool flag = false;
For (v2, 0, 1) if (opt[v][v2] == colv) { flag = true; T.Add(u, v1, v, v2); }
if (!flag)
T.Add(u, v1, u, v1 ^ 1);
}
}
return T.Solve();
}
inline void Out() {
For (i, 1, n) For (j, 0, 1) if (T.mark[i << 1 | j]) putchar(toupper(opt[i][j]));
}
void Dfs(int pos) {
if (pos == len + 1) { if (Check()) { Out(); exit(0); } return ; }
opt[pos][0] = 'b'; opt[pos][1] = 'c'; str[pos] = 'a'; Dfs(Jump[pos]);
opt[pos][0] = 'a'; opt[pos][1] = 'c'; str[pos] = 'b'; Dfs(Jump[pos]);
}
int main () {
File();
n = len = read(); read();
scanf ("%s", str + 1);
Last = len + 1;
Fordown(i, len, 1)
if (str[i] == 'x') { Jump[i] = Last; Last = i; }
else { int cnt = 0; For (j, 0, 2) if (str[i] != 'a' + j) { opt[i][cnt ++] = 'a' + j; } }
m = read();
For (i, 1, m) {
int u, v; char colu, colv;
scanf ("%d %c %d %c", &u, &colu, &v, &colv);
lt[i].u = u; lt[i].v = v; lt[i].colu = tolower(colu); lt[i].colv = tolower(colv);
}
Dfs(Last);
puts("-1");
return 0;
}正解就用Tarjan縮點就行咯qwq
#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
using namespace std;
inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}
inline int read() {
int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
return x * fh;
}
void File() {
#ifdef zjp_shadow
freopen ("317.in", "r", stdin);
freopen ("317.out", "w", stdout);
#endif
}
const int N = 200100;
char str[N];
int Jump[N], len, Last;
int m;
struct Limit { int u, v; char colu, colv; } lt[N];
char opt[N][2];
struct Two_SAT {
int Next[N], Head[N], to[N], e, n;
void Init(int n) { this -> n = n; For(i, 2, n << 1 | 1) Head[i] = 0; e = 0; }
void add_edge(int u, int v) { to[++ e] = v; Next[e] = Head[u]; Head[u] = e; }
void Add(int x, int xv, int y, int yv) {
x = x << 1 | xv; y = y << 1 | yv;
add_edge(x, y); add_edge(y ^ 1, x ^ 1);
} //(x,xv) -> (y,yv)
int sccno[N], scc_cnt;
int dfn[N], lowlink[N];
int sta[N], top, clk;
void Tarjan(int u) {
lowlink[u] = dfn[u] = ++clk; sta[++ top] = u;
for (int i = Head[u]; i; i = Next[i]) {
int v = to[i];
if (!dfn[v]) { Tarjan(v); chkmin(lowlink[u], lowlink[v]); }
else if (!sccno[v]) chkmin(lowlink[u], dfn[v]);
}
if (lowlink[u] == dfn[u]) {
++ scc_cnt; for (;;) { int now = sta[top --]; sccno[now] = scc_cnt; if (now == u) break ; }
}
}
bool Solve() {
For (i, 2, n << 1 | 1) dfn[i] = sccno[i] = 0; scc_cnt = clk = 0;
For (i, 2, n << 1 | 1) if (!dfn[i]) Tarjan(i);
For (i, 1, n)
if (sccno[i << 1] == sccno[i << 1 | 1]) return false;
return true;
}
void Out() {
For (i, 1, n) { putchar(toupper(opt[i][sccno[i << 1] > sccno[i << 1 | 1]])) ; }
}
} T;
int n;
int cnt = 0;
inline bool Check() {
T.Init(n);
For (i, 1, m) {
int u = lt[i].u, v = lt[i].v, colu = lt[i].colu, colv = lt[i].colv;
if (u == v && colu == colv) continue ;
For (v1, 0, 1) if (opt[u][v1] == colu) {
bool flag = false;
For (v2, 0, 1) if (opt[v][v2] == colv) { flag = true; T.Add(u, v1, v, v2); }
if (!flag) T.Add(u, v1, u, v1 ^ 1);
}
}
int res = T.Solve();
return res;
}
void Dfs(int pos) {
if ((double) clock() / CLOCKS_PER_SEC >= 0.8) { puts("-1"); exit(0); }
if (pos == len + 1) { if (Check()) { T.Out(); exit(0); } return ; }
opt[pos][0] = 'a'; opt[pos][1] = 'c'; str[pos] = 'b'; Dfs(Jump[pos]);
opt[pos][0] = 'b'; opt[pos][1] = 'c'; str[pos] = 'a'; Dfs(Jump[pos]);
}
int main () {
File();
n = len = read(); read(); scanf ("%s", str + 1); Last = len + 1;
Fordown(i, len, 1)
if (str[i] == 'x') { Jump[i] = Last; Last = i; }
else { int cnt = 0; For (j, 0, 2) if (str[i] != 'a' + j) { opt[i][cnt ++] = 'a' + j; } }
m = read();
For (i, 1, m) {
int u, v; char colu, colv; scanf ("%d %c %d %c", &u, &colu, &v, &colv);
lt[i].u = u; lt[i].v = v; lt[i].colu = tolower(colu); lt[i].colv = tolower(colv);
}
Dfs(Last); puts("-1");
return 0;
}